Шаг 1
Обозначим долг на 15-е число каждого месяца. По условию, с 1-го по 10-й месяц долг уменьшается на 80 тысяч рублей ежемесячно. Если $D_0$ — начальный долг, то $D_k = D_0 - 80k$ для $k = 0, 1, ..., 10$.
Шаг 2
На 1-е число каждого месяца долг увеличивается на 3%, то есть умножается на $1.03$. Выплата в месяце $k$ ($k = 1, ..., 10$) состоит из начисленных процентов и части долга в 80 тысяч рублей: $R_k = 0.03D_{k-1} + 80$. В 11-м месяце выплачивается весь оставшийся долг с процентами: $R_{11} = 1.03D_{10}$.
Шаг 3
Общая сумма выплат равна 1198 тысяч рублей. Подставим выражения для выплат:
$0.03 \sum_{k=0}^{9} D_k + 10 \cdot 80 + 1.03D_{10} = 1198$.
$0.03 \sum_{k=0}^{9} D_k + 10 \cdot 80 + 1.03D_{10} = 1198$.
Шаг 4
Вычислим сумму $\sum_{k=0}^{9} D_k = \sum_{k=0}^{9} (D_0 - 80k) = 10D_0 - 80 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 10D_0 - 3600$.
Также $D_{10} = D_0 - 800$. Подставим в уравнение:
$0.03(10D_0 - 3600) + 800 + 1.03(D_0 - 800) = 1198$.
Упростим: $0.3D_0 - 108 + 800 + 1.03D_0 - 824 = 1198$.
$1.33D_0 - 132 = 1198 \Rightarrow 1.33D_0 = 1330 \Rightarrow D_0 = 1000$.
Тогда долг на 15-е число 10-го месяца: $D_{10} = 1000 - 800 = 200$.
Также $D_{10} = D_0 - 800$. Подставим в уравнение:
$0.03(10D_0 - 3600) + 800 + 1.03(D_0 - 800) = 1198$.
Упростим: $0.3D_0 - 108 + 800 + 1.03D_0 - 824 = 1198$.
$1.33D_0 - 132 = 1198 \Rightarrow 1.33D_0 = 1330 \Rightarrow D_0 = 1000$.
Тогда долг на 15-е число 10-го месяца: $D_{10} = 1000 - 800 = 200$.
Окончательный ответ:
200