Шаг 1
Сумма на счёте в конце 20-го года при продаже в конце года $k$ равна $A(k) = k^{2}(1+r)^{20-k}$.
Шаг 2
Чтобы максимум достигался при $k=9$, необходимо $A(9) > A(8)$ и $A(9) > A(10)$.
Шаг 3
Из $A(9) > A(8)$ получаем $9^{2}(1+r)^{11} > 8^{2}(1+r)^{12}$. Сокращая на $(1+r)^{11}$, имеем $81 > 64(1+r)$, откуда $1+r < \frac{81}{64}$.
Шаг 4
Из $A(9) > A(10)$ получаем $9^{2}(1+r)^{11} > 10^{2}(1+r)^{10}$. Сокращая на $(1+r)^{10}$, имеем $81(1+r) > 100$, откуда $1+r > \frac{100}{81}$.
Шаг 5
Объединяя условия, получаем $\frac{100}{81} < 1+r < \frac{81}{64}$.
Шаг 6
Вычитаем 1: $\frac{100}{81} - 1 < r < \frac{81}{64} - 1$.
Шаг 7
Упрощаем: $\frac{19}{81} < r < \frac{17}{64}$.
Окончательный ответ:
$\frac{19}{81} < r < \frac{17}{64}$