Шаг 1
Определим функцию стоимости к концу 20-го года, если продажа произошла в конце года $t$: $f(t) = t^2 \cdot 1.25^{20-t}$.
Шаг 2
Исследуем поведение $f(t)$. Рассмотрим отношение $\frac{f(t+1)}{f(t)} = \frac{(t+1)^2 \cdot 1.25^{19-t}}{t^2 \cdot 1.25^{20-t}} = \frac{(1 + \frac{1}{t})^2}{1.25}$.
Шаг 3
Функция $f(t)$ растёт, когда $\frac{f(t+1)}{f(t)} > 1$, и убывает, когда $\frac{f(t+1)}{f(t)} < 1$.
Шаг 4
Найдём точку, где рост сменяется убыванием. Решаем $\frac{(1 + \frac{1}{t})^2}{1.25} = 1$, то есть $(1 + \frac{1}{t})^2 = 1.25$.
Шаг 5
Извлекаем корень: $1 + \frac{1}{t} = \sqrt{1.25} \approx 1.118$. Тогда $\frac{1}{t} \approx 0.118$ и $t \approx 8.47$.
Шаг 6
Поскольку $t$ целое, максимум $f(t)$ достигается при $t = 8$ или $t = 9$. Проверим: $\frac{f(9)}{f(8)} = \frac{(1 + \frac{1}{8})^2}{1.25} = \frac{(1.125)^2}{1.25} = \frac{1.265625}{1.25} > 1$, значит $f(9) > f(8)$. $\frac{f(10)}{f(9)} = \frac{(1 + \frac{1}{9})^2}{1.25} = \frac{(1.111...)^2}{1.25} \approx \frac{1.234568}{1.25} < 1$, значит $f(10) < f(9)$.
Шаг 7
Следовательно, функция $f(t)$ достигает максимума при $t = 9$.
Окончательный ответ:
9