Шаг 1
Преобразуем первое уравнение. $x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = 12a - 28$. Из второго уравнения $x^2 + y^2 = a$, подставляем: $(x^2 - y^2) \cdot a = 12a - 28$. Результат: получили $a(x^2 - y^2) = 12a - 28$. Шаг 2: Рассмотрим случай $a = 0$. Тогда $0 = -28$ — нет решений. Значит $a \neq 0$, тогда можно разделить на $a$: $x^2 - y^2 = \frac{12a - 28}{a} = 12 - \frac{28}{a}$. Результат: система свелась к $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ x^2 - y^2 = 12 - \frac{28}{a}. \end{cases} $$ Шаг 3: Складываем и вычитаем уравнения. Сложение: $2x^2 = a + 12 - \frac{28}{a} = \frac{a^2 + 12a - 28}{a}$. Вычитание: $2y^2 = a - 12 + \frac{28}{a} = \frac{a^2 - 12a + 28}{a}$. Результат: $$ x^2 = \frac{a^2 + 12a - 28}{2a}, \quad y^2 = \frac{a^2 - 12a + 28}{2a}. $$ Шаг 4: Условия неотрицательности правых частей. Для $x^2 \ge 0$: $\frac{a^2 + 12a - 28}{2a} \ge 0$. Для $y^2 \ge 0$: $\frac{a^2 - 12a + 28}{2a} \ge 0$. Знаменатель $a \neq 0$, но $a$ может быть положительным или отрицательным. Результат: система неравенств относительно $a$. Шаг 5: Решаем неравенства. 1) $\frac{a^2 + 12a - 28}{2a} \ge 0$. Числитель: $a^2 + 12a - 28 = 0 \Rightarrow a = -6 \pm \sqrt{64} = -6 \pm 8$, корни $a_1 = 2$, $a_2 = -14$. Знаменатель $2a$. Метод интервалов: При $a > 0$: числитель $\ge 0$ при $a \le -14$ или $a \ge 2$, но $a > 0$, значит $a \ge 2$. При $a < 0$: числитель $\ge 0$ при $a \le -14$ (так как между корнями отрицателен). Учитываем знак дроби: для $a < 0$ числитель $\ge 0$ при $a \le -14$, знаменатель отрицательный, дробь $\le 0$. Значит неравенство $\frac{a^2 + 12a - 28}{2a} \ge 0$ выполняется при: $a \in [-14, 0)$ (проверим: при $a=-10$, числитель $100-120-28=-48<0$, нет) — неверно. Правильно: числитель $N_1 = a^2+12a-28$, знаменатель $D=2a$. Дробь $\ge 0$ когда $N_1 \cdot a \ge 0$ (так как $2>0$). $N_1 \cdot a \ge 0$: произведение неотрицательно. Корни $N_1$: $2$ и $-14$, корень $a$: $0$. Наносим на числовую прямую точки $-14, 0, 2$. Проверяем знаки $N_1 \cdot a$: При $a<-14$: $N_1>0$, $a<0$ ⇒ произведение <0. При $-140. При $00$ ⇒ произведение <0. При $a>2$: $N_1>0$, $a>0$ ⇒ произведение >0. Значит $N_1 \cdot a \ge 0$ при $a \in [-14, 0) \cup [2, +\infty)$. Но $a \neq 0$, итог: $a \in [-14, 0) \cup [2, +\infty)$. 2) $\frac{a^2 - 12a + 28}{2a} \ge 0$. Числитель: $a^2 - 12a + 28 = 0$, дискриминант $144-112=32$, корни $a = 6 \pm 2\sqrt{2}$ ($\approx 6 \pm 2.828$: $a_3 \approx 3.172$, $a_4 \approx 8.828$). Аналогично: дробь $\ge 0$ когда $N_2 \cdot a \ge 0$, где $N_2 = a^2 - 12a + 28$. Корни $N_2$: $6 - 2\sqrt{2}$ и $6 + 2\sqrt{2}$, точка $a=0$. Проверяем знаки $N_2 \cdot a$: При $a < 6 - 2\sqrt{2}$: $N_2>0$, $a$ может быть отрицательным или положительным. Если $a<0$: $N_2>0$, $a<0$ ⇒ произведение <0. Если $0 < a < 6-2\sqrt{2}$: $N_2>0$, $a>0$ ⇒ произведение >0. При $6-2\sqrt{2} < a < 6+2\sqrt{2}$: $N_2<0$, $a>0$ ⇒ произведение <0. При $a > 6+2\sqrt{2}$: $N_2>0$, $a>0$ ⇒ произведение >0. Также при $a<0$ уже получили <0. Значит $N_2 \cdot a \ge 0$ при $a \in (0, 6-2\sqrt{2}] \cup [6+2\sqrt{2}, +\infty)$. Но также при $a=0$ не определено. Итого: $a \in (0, 6-2\sqrt{2}] \cup [6+2\sqrt{2}, +\infty)$. Шаг 6: Пересечение условий из шага 5. Первое условие: $a \in [-14, 0) \cup [2, +\infty)$. Второе условие: $a \in (0, 6-2\sqrt{2}] \cup [6+2\sqrt{2}, +\infty)$. Пересечение: - $[-14, 0)$ и $(0, ...)$ не пересекаются. - $[2, +\infty)$ и $(0, 6-2\sqrt{2}]$ дают $[2, 6-2\sqrt{2}]$ (так как $6-2\sqrt{2} \approx 3.17 > 2$). - $[2, +\infty)$ и $[6+2\sqrt{2}, +\infty)$ дают $[6+2\sqrt{2}, +\infty)$. Также проверим границы: при $a=2$: $x^2 = \frac{4+24-28}{4}=0$, $y^2 = \frac{4-24+28}{4}=2$, решения: $(0, \pm\sqrt{2})$ и $(0, \mp\sqrt{2})$ — всего 2 различных решения, не подходит (нужно 4). При $a=6-2\sqrt{2}$: $y^2=0$, $x^2>0$ — тоже 2 решения. При $a=6+2\sqrt{2}$: $y^2=0$, $x^2>0$ — 2 решения. Значит граничные точки не включаем. Результат: $a \in (2, 6-2\sqrt{2}) \cup (6+2\sqrt{2}, +\infty)$. Шаг 7: Проверка количества решений. При таких $a$: $x^2 > 0$ и $y^2 > 0$ (строго), значит $x = \pm \sqrt{x^2}$, $y = \pm \sqrt{y^2}$ — 4 различные пары $(x, y)$. Нужно также убедиться, что $x^2$ и $y^2$ не равны друг другу (иначе возможны совпадения? Нет, если оба положительны, то 4 комбинации знаков дают 4 различных решения, так как $x$ и $y$ независимы). Проверим случай $x^2 = y^2$: тогда из системы $x^2+y^2=a$ и $x^2-y^2=12-28/a$ получаем $x^2=y^2=a/2$ и $0=12-28/a$, откуда $a=28/12=7/3 \approx 2.333$, но $7/3$ не лежит в $(2, 6-2\sqrt{2})$? $6-2\sqrt{2}\approx 3.17$, $7/3\approx 2.333$ — лежит. При этом $x^2=y^2>0$, решения: $(\sqrt{a/2}, \sqrt{a/2})$, $(\sqrt{a/2}, -\sqrt{a/2})$, $(-\sqrt{a/2}, \sqrt{a/2})$, $(-\sqrt{a/2}, -\sqrt{a/2})$ — все 4 различны, так как координаты независимы. Значит случай $x^2=y^2$ не уменьшает количество решений. Таким образом, при $a \in (2, 6-2\sqrt{2}) \cup (6+2\sqrt{2}, +\infty)$ ровно 4 решения. Окончательный ответ: $(2, 6-2\sqrt{2}) \cup (6+2\sqrt{2}, +\infty)$