Шаг 1
Сделаем замену $t = \tan x$. Уравнение $\sqrt{3} \tan^2 x - 4 \tan x + \sqrt{3} = 0$ принимает вид:
Результат:
$\sqrt{3} t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0$.
Шаг 2
Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 16 - 12 = 4$. Корни:
$t = \frac{4 \pm 2}{2\sqrt{3}}$.
$t = \frac{4 \pm 2}{2\sqrt{3}}$.
Результат:
$t_1 = \sqrt{3}$, $t_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Шаг 3
Возвращаемся к $x$:
$\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.
$\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.
Результат:
Общие решения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4
Отберем корни на отрезке $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$ ($\pi \approx 3.14$, $\frac{5\pi}{2} \approx 7.85$).
Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: $\pi \leq \frac{\pi}{3} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$. При $k=1$: $x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$; при $k=2$: $x = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33$.
Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$: $\pi \leq \frac{\pi}{6} + \pi n \leq \frac{5\pi}{2}$. При $n=1$: $x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67$; при $n=2$: $x = \frac{13\pi}{6} \approx 6.81$.
Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: $\pi \leq \frac{\pi}{3} + \pi k \leq \frac{5\pi}{2}$. При $k=1$: $x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$; при $k=2$: $x = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33$.
Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$: $\pi \leq \frac{\pi}{6} + \pi n \leq \frac{5\pi}{2}$. При $n=1$: $x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67$; при $n=2$: $x = \frac{13\pi}{6} \approx 6.81$.
Результат:
Корни на отрезке: $\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}, \frac{13\pi}{6}, \frac{7\pi}{3}$.
Окончательный ответ:
$\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}, \frac{13\pi}{6}, \frac{7\pi}{3}$.