Шаг 1
Исходное уравнение: $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
Шаг 2
Сгруппируем слагаемые: $(2\cos^3 x + 2\cos x) - (\cos^2 x + 1) = 0$.
Шаг 3
Вынесем общие множители: $2\cos x(\cos^2 x + 1) - 1(\cos^2 x + 1) = 0$, тогда $(\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0$.
Шаг 4
Уравнение распадается на два: $\cos^2 x + 1 = 0$ и $2\cos x - 1 = 0$. Первое уравнение $\cos^2 x = -1$ не имеет решений. Второе даёт $\cos x = \frac{1}{2}$.
Шаг 5
Общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 6
Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$. При $k=1$: $x = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ (лежит в отрезке). При $k=2$: $x = 2\pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{13\pi}{3} > \frac{7\pi}{2}$, не подходит. Отрицательная серия при $k=1$ даёт $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} < 2\pi$, не подходит.
Окончательный ответ:
$\frac{7\pi}{3}$.