Шаг 1
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон треугольника $ABC$, а $H$ — основание высоты из вершины $A$. Эти четыре точки лежат на окружности Эйлера (девятиточечной окружности) треугольника $ABC$. Следовательно, они лежат на одной окружности.
Шаг 2
Найдем $A_1H$. Пусть $B = (0, 0)$, $C = (6\sqrt{3}, 0)$. Угол $B = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin 120^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ} \Rightarrow \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow AB = 6\sqrt{2}$.
Координаты точки $A$: $x_A = AB \cos 15^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{3} + 3$, $y_A = AB \sin 15^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{3} - 3$.
Точка $A_1$ — середина $BC$: $A_1 = \left( 3\sqrt{3}, 0 \right)$. Точка $H$ — основание высоты из $A$ на $BC$, поэтому $H = (x_A, 0) = (3\sqrt{3} + 3, 0)$.
Тогда $A_1H = |(3\sqrt{3} + 3) - 3\sqrt{3}| = 3$.
Координаты точки $A$: $x_A = AB \cos 15^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{3} + 3$, $y_A = AB \sin 15^\circ = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{3} - 3$.
Точка $A_1$ — середина $BC$: $A_1 = \left( 3\sqrt{3}, 0 \right)$. Точка $H$ — основание высоты из $A$ на $BC$, поэтому $H = (x_A, 0) = (3\sqrt{3} + 3, 0)$.
Тогда $A_1H = |(3\sqrt{3} + 3) - 3\sqrt{3}| = 3$.
Окончательный ответ:
3