Шаг 1
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
Если $7x + a \ge 0$, то уравнение принимает вид:
$x^{2} + a^{2} + x - 7a = 7x + a$.
После преобразований: $x^{2} - 6x + a^{2} - 8a = 0$ (уравнение 1) при условии $x \ge -\frac{a}{7}$.
Если $7x + a < 0$, то уравнение принимает вид:
$x^{2} + a^{2} + x - 7a = -7x - a$.
После преобразований: $x^{2} + 8x + a^{2} - 6a = 0$ (уравнение 2) при условии $x < -\frac{a}{7}$.
Если $7x + a \ge 0$, то уравнение принимает вид:
$x^{2} + a^{2} + x - 7a = 7x + a$.
После преобразований: $x^{2} - 6x + a^{2} - 8a = 0$ (уравнение 1) при условии $x \ge -\frac{a}{7}$.
Если $7x + a < 0$, то уравнение принимает вид:
$x^{2} + a^{2} + x - 7a = -7x - a$.
После преобразований: $x^{2} + 8x + a^{2} - 6a = 0$ (уравнение 2) при условии $x < -\frac{a}{7}$.
Шаг 2
Каждое из квадратных уравнений может иметь до двух корней. Для того чтобы исходное уравнение имело больше двух различных корней, необходимо, чтобы оба уравнения давали корни, и при этом выполнялись их ограничения по $x$, а общее количество различных корней было не менее трёх.
Шаг 3
Анализ показывает, что это условие выполняется в двух интервалах параметра $a$.
При $a \in [-1, 0]$ каждое из уравнений даёт по два корня, все корни различны и удовлетворяют своим ограничениям. Итого 4 корня.
При $a \in [7, 8]$ уравнение (1) даёт два корня, а уравнение (2) — один корень (второй не удовлетворяет ограничению), либо наоборот. Итого 3 корня.
При остальных значениях $a$ уравнение имеет не более двух корней.
При $a \in [-1, 0]$ каждое из уравнений даёт по два корня, все корни различны и удовлетворяют своим ограничениям. Итого 4 корня.
При $a \in [7, 8]$ уравнение (1) даёт два корня, а уравнение (2) — один корень (второй не удовлетворяет ограничению), либо наоборот. Итого 3 корня.
При остальных значениях $a$ уравнение имеет не более двух корней.
Окончательный ответ:
$a \in [-1, 0] \cup [7, 8]$.