Шаг 1
Преобразуем уравнение, используя $8^x = 2^{3x}$.
Результат:
$2^{3x} - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$.
Шаг 2
Введем замену $t = 2^x > 0$. Тогда $2^{3x} = t^3$, $2^{x+1} = 2t$, $2^{5-x} = \frac{32}{t}$.
Результат:
$t^3 - 18t + \frac{32}{t} = 0$.
Шаг 3
Умножим на $t$ и упростим.
Результат:
$t^4 - 18t^2 + 32 = 0$.
Шаг 4
Сделаем замену $u = t^2 > 0$.
Результат:
$u^2 - 18u + 32 = 0$.
Шаг 5
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 324 - 128 = 196$, корни $u = \frac{18 \pm 14}{2}$.
Результат:
$u_1 = 16$, $u_2 = 2$.
Шаг 6
Возвращаемся к $t$: $t^2 = 16$ или $t^2 = 2$, откуда $t = 4$ или $t = \sqrt{2}$ (так как $t > 0$).
Шаг 7
Возвращаемся к $x$: $2^x = 4$ или $2^x = \sqrt{2}$.
Результат:
$x_1 = 2$, $x_2 = \frac{1}{2}$.
Шаг 8
Найдем корни на отрезке $\left[ \log_5 2; \log_5 20 \right]$. Приближенно: $\log_5 2 \approx 0.43$, $\log_5 20 \approx 1.86$. В этот отрезок попадает только $x = \frac{1}{2}$.
Окончательный ответ:
$\frac{1}{2}$.