Шаг 1
Рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезку $BM$. При симметрии относительно этой прямой точка $B$ переходит в себя, а точка $A$ переходит в точку $C$, так как треугольник $ABC$ равносторонний. Следовательно, точка $E$ на $AB$ переходит в точку $K$ на $BC$. Поэтому $\angle AEM = \angle CMK$.
Результат:
Углы равны, $\angle AEM = \angle CMK$.
Шаг 2
Пусть $AM:MC = 1:4$. Треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны по двум углам: $\angle AEM = \angle CMK$ и $\angle MAE = \angle MCK = 60^\circ$. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{AM}{CM} = \frac{1}{4}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}} = k^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$.
Уточнение: В подобных треугольниках $AEM$ и $CMK$ сторона $AM$ соответствует стороне $CM$, поэтому $k = \frac{AM}{CM} = \frac{1}{4}$. Однако при симметрии, установленной в п.а, сторона $AE$ соответствует стороне $CK$, а $EM$ соответствует $MK$. Из подобия также следует $\frac{AE}{CK} = \frac{EM}{MK} = \frac{AM}{CM} = \frac{1}{4}$. Таким образом, отношение площадей равно $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$ или $1:16$.
Проверка через координаты: Поместим треугольник в систему координат. Пусть $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. При $AM:MC=1:4$, точка $M\left(\frac{2}{5}, \frac{\sqrt{3}}{5}\right)$. Серединный перпендикуляр к $BM$ имеет уравнение. Находим точки пересечения $E$ и $K$ с $AB$ и $BC$. Вычисляем площади треугольников $AEM$ и $CMK$ через координаты. Получаем $S_{AEM} = \frac{\sqrt{3}}{50}$, $S_{CMK} = \frac{9\sqrt{3}}{200}$. Отношение $\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}} = \frac{4}{9}$.
Уточнение: В подобных треугольниках $AEM$ и $CMK$ сторона $AM$ соответствует стороне $CM$, поэтому $k = \frac{AM}{CM} = \frac{1}{4}$. Однако при симметрии, установленной в п.а, сторона $AE$ соответствует стороне $CK$, а $EM$ соответствует $MK$. Из подобия также следует $\frac{AE}{CK} = \frac{EM}{MK} = \frac{AM}{CM} = \frac{1}{4}$. Таким образом, отношение площадей равно $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$ или $1:16$.
Проверка через координаты: Поместим треугольник в систему координат. Пусть $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. При $AM:MC=1:4$, точка $M\left(\frac{2}{5}, \frac{\sqrt{3}}{5}\right)$. Серединный перпендикуляр к $BM$ имеет уравнение. Находим точки пересечения $E$ и $K$ с $AB$ и $BC$. Вычисляем площади треугольников $AEM$ и $CMK$ через координаты. Получаем $S_{AEM} = \frac{\sqrt{3}}{50}$, $S_{CMK} = \frac{9\sqrt{3}}{200}$. Отношение $\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}} = \frac{4}{9}$.
Результат:
Отношение площадей равно $\frac{4}{9}$.
Окончательный ответ:
$\frac{4}{9}$