Шаг 1
Введём систему координат
Результат:
Поместим основание $ABC$ в плоскость $z=0$. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(6,0,0)$, $C=(3,3\sqrt{3},0)$. Тогда $A'=(0,0,4)$, $B'=(6,0,4)$, $C'=(3,3\sqrt{3},4)$.
Шаг 2
Найдём центры окружностей
Результат:
Центр окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$, совпадает с его центроидом $G=(3,\sqrt{3},0)$. Для треугольника $A'BC$ центр $O'$ также лежит в плоскости, перпендикулярной $BC$ и проходящей через её середину. Прямая $GO'$ проходит через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ (точку $G$), что и требовалось доказать в пункте а).
Шаг 3
Найдём расстояние от $G$ до плоскости $A'BC$
Результат:
Плоскость $A'BC$ параллельна оси $Oy$ и проходит через точки $A'(0,0,4)$, $B(6,0,0)$, $C(3,3\sqrt{3},0)$. Рассмотрим плоскость $z=2$, параллельную основанию и равноудалённую от плоскостей $z=0$ и $z=4$. Она пересекает отрезки $AA'$, $BB'$, $CC'$ в их серединах.
Шаг 4
Вычислим расстояние
Результат:
Точка $G=(3,\sqrt{3},0)$ лежит в плоскости основания $z=0$. Расстояние от $G$ до плоскости $z=2$ равно модулю разности $z$-координат: $d = |2 - 0| = 2$.
Окончательный ответ:
2