Шаг 1
Введём систему координат.
Результат:
Поместим точку A в начало: A(0,0,0). Пусть AB лежит на оси Ox: B(6,0,0). Так как AB=BC=6 и AC=8, по теореме косинусов в равнобедренном треугольнике ABC находим координаты C. Получаем C$\left(\frac{16}{3}, \frac{8\sqrt{5}}{3}, 0\right)$.
Шаг 2
Координаты точек верхнего основания и точки K.
Результат:
Так как призма прямая и A₁=3 (высота), то A₁(0,0,3), B₁(6,0,3). Точка K — середина A₁B₁, поэтому K(3,0,3).
Шаг 3
Координаты точки M.
Результат:
Точка M делит AC в отношении AM:MC=1:3, значит M = A + $\frac{1}{4}$AC. AC = $\left(\frac{16}{3}, \frac{8\sqrt{5}}{3}, 0\right)$, поэтому M$\left(\frac{4}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}, 0\right)$.
Шаг 4
Доказательство перпендикулярности KM и AC.
Результат:
Вектор KM = M - K = $\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}, -3\right)$. Скалярное произведение KM·AC = $\left(-\frac{5}{3}\right)\cdot\frac{16}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{8\sqrt{5}}{3} + (-3)\cdot0 = -\frac{80}{9} + \frac{80}{9} = 0$. Следовательно, KM ⊥ AC.
Шаг 5
Нахождение угла между прямой KM и плоскостью ABB₁.
Скалярное произведение KM·n = $\left(-\frac{5}{3}\right)\cdot0 + \frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot(-1) + (-3)\cdot0 = -\frac{2\sqrt{5}}{3}$.
Искомый угол $\alpha$ между прямой и плоскостью: $\sin\alpha = \frac{|KM \cdot n|}{|KM| \cdot |n|} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{14} \cdot 1} = \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}$.
Таким образом, $\alpha = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}\right) \approx 23.5^\circ$.
Результат:
Векторы в плоскости ABB₁: AB(6,0,0) и AB₁(6,0,3). Векторное произведение AB × AB₁ даёт нормаль n = (0, -18, 0). Можно взять n = (0, -1, 0). Длина вектора KM: $|KM| = \sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 + (-3)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{20}{9} + 9} = \sqrt{\frac{45}{9} + 9} = \sqrt{5+9} = \sqrt{14}$.
Скалярное произведение KM·n = $\left(-\frac{5}{3}\right)\cdot0 + \frac{2\sqrt{5}}{3}\cdot(-1) + (-3)\cdot0 = -\frac{2\sqrt{5}}{3}$.
Искомый угол $\alpha$ между прямой и плоскостью: $\sin\alpha = \frac{|KM \cdot n|}{|KM| \cdot |n|} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{\sqrt{14} \cdot 1} = \frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}$.
Таким образом, $\alpha = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{14}}\right) \approx 23.5^\circ$.
Окончательный ответ:
$\alpha \approx 23.5^\circ$