Шаг 1
Введем систему координат. Поместим точку A в начало: A(0,0,0). Пусть AB = 4 (для удобства), тогда B(4,0,0). Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, середина AB имеет координаты (2,0,0). Высота CH находится по условию AB : BC = 2 : 5. При AB=4, BC=10. Тогда CH = √(BC² - (AB/2)²) = √(100 - 4) = √96 = 4√6. Координаты C: (2, 4√6, 0). Высота призмы равна AB₁ = 4, поэтому A₁(0,0,4), B₁(4,0,4), C₁(2,4√6,4).
Шаг 2
Найдем координаты ключевых точек.
Точка P делит AB в отношении AP:PB = 1:3. P = (1, 0, 0).
Точка Q — середина A₁C₁. Q = ((0+2)/2, (0+4√6)/2, (4+4)/2) = (1, 2√6, 4).
Точка M — середина BC. M = ((4+2)/2, (0+4√6)/2, (0+0)/2) = (3, 2√6, 0).
Точка P делит AB в отношении AP:PB = 1:3. P = (1, 0, 0).
Точка Q — середина A₁C₁. Q = ((0+2)/2, (0+4√6)/2, (4+4)/2) = (1, 2√6, 4).
Точка M — середина BC. M = ((4+2)/2, (0+4√6)/2, (0+0)/2) = (3, 2√6, 0).
Шаг 3
Уравнение плоскости α.
Плоскость α проходит через M и перпендикулярна отрезку PQ. Вектор PQ = Q - P = (0, 2√6, 4) является вектором нормали к α.
Уравнение плоскости: 0*(x-3) + 2√6*(y-2√6) + 4*(z-0) = 0 ⇒ 2√6(y-2√6) + 4z = 0.
Упрощаем: √6(y-2√6) + 2z = 0 ⇒ √6y - 12 + 2z = 0 ⇒ √6y + 2z = 12.
Плоскость α проходит через M и перпендикулярна отрезку PQ. Вектор PQ = Q - P = (0, 2√6, 4) является вектором нормали к α.
Уравнение плоскости: 0*(x-3) + 2√6*(y-2√6) + 4*(z-0) = 0 ⇒ 2√6(y-2√6) + 4z = 0.
Упрощаем: √6(y-2√6) + 2z = 0 ⇒ √6y - 12 + 2z = 0 ⇒ √6y + 2z = 12.
Шаг 4
Пересечение плоскости α с ребром AC (докажем пункт а).
Параметризуем AC: A(0,0,0), C(2,4√6,0). Точки AC: X(t) = (2t, 4√6t, 0), где t ∈ [0,1].
Подставляем в уравнение плоскости: √6*(4√6t) + 2*0 = 12 ⇒ 24t = 12 ⇒ t = 1/2.
Точка пересечения X = (1, 2√6, 0) — середина отрезка AC, так как при t=1/2. Доказано.
Параметризуем AC: A(0,0,0), C(2,4√6,0). Точки AC: X(t) = (2t, 4√6t, 0), где t ∈ [0,1].
Подставляем в уравнение плоскости: √6*(4√6t) + 2*0 = 12 ⇒ 24t = 12 ⇒ t = 1/2.
Точка пересечения X = (1, 2√6, 0) — середина отрезка AC, так как при t=1/2. Доказано.
Шаг 5
Пересечение плоскости α с ребром A₁C₁ (найдем для пункта б).
Параметризуем A₁C₁: A₁(0,0,4), C₁(2,4√6,4). Точки A₁C₁: Y(s) = (2s, 4√6s, 4), где s ∈ [0,1].
Подставляем в уравнение плоскости: √6*(4√6s) + 2*4 = 12 ⇒ 24s + 8 = 12 ⇒ 24s = 4 ⇒ s = 1/6.
Точка делит A₁C₁ в отношении A₁Y : YC₁ = s : (1-s) = (1/6) : (5/6) = 1:5, считая от A₁.
Параметризуем A₁C₁: A₁(0,0,4), C₁(2,4√6,4). Точки A₁C₁: Y(s) = (2s, 4√6s, 4), где s ∈ [0,1].
Подставляем в уравнение плоскости: √6*(4√6s) + 2*4 = 12 ⇒ 24s + 8 = 12 ⇒ 24s = 4 ⇒ s = 1/6.
Точка делит A₁C₁ в отношении A₁Y : YC₁ = s : (1-s) = (1/6) : (5/6) = 1:5, считая от A₁.
Окончательный ответ:
1:5