Шаг 1
Введём координаты. Пусть A=(0,0), B=(w,0), C=(w,9), D=(0,9), M=(0,m).
Результат:
Координаты выбраны.
Шаг 2
Вектор AC = (w,9), вектор BM = (-w, m). Условие BM ⟂ AC даёт их скалярное произведение равным нулю: -w² + 9m = 0.
Результат:
m = w²/9.
Шаг 3
Условие MB = MD: $\sqrt{w^2 + m^2} = 9 - m$. Возводим в квадрат.
Результат:
w² + m² = (9 - m)².
Шаг 4
Подставляем m = w²/9: $w^2 + \frac{w^4}{81} = 81 - 18 \cdot \frac{w^2}{9} + \frac{w^4}{81}$.
Результат:
Упрощаем: w² = 81 - 2w².
Шаг 5
Решаем уравнение: 3w² = 81, w² = 27, w = 3√3. Тогда m = (27)/9 = 3.
Результат:
Координаты: B=(3√3,0), M=(0,3).
Шаг 6
Найдём ∠ABM. Векторы: BA = (-3√3,0), BM = (-3√3,3). Их скалярное произведение: 27. Модули: |BA| = 3√3, |BM| = √(27+9) = 6. cos(∠ABM) = 27/(3√3 * 6) = √3/2.
Результат:
∠ABM = 30°.
Шаг 7
Найдём ∠DBC. Векторы: BD = (-3√3,9), BC = (0,9). Их скалярное произведение: 81. Модули: |BD| = √(27+81) = √108 = 6√3, |BC| = 9. cos(∠DBC) = 81/(6√3 * 9) = √3/2.
Результат:
∠DBC = 30°. Доказательство пункта а) завершено.
Шаг 8
Центр прямоугольника O: O = ((3√3)/2, 9/2).
Результат:
Координаты центра.
Шаг 9
Уравнение прямой CM через M(0,3) и C(3√3,9). Угловой коэффициент: k = (9-3)/(3√3) = 2/√3. Уравнение: y = 3 + (2/√3)x.
Результат:
Приводим к стандартному виду: 2x - √3 y + 3√3 = 0.
Шаг 10
Расстояние от точки O(x₀,y₀) до прямой Ax+By+C=0: d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²). Подставляем: A=2, B=-√3, C=3√3, x₀=(3√3)/2, y₀=9/2.
Результат:
Числитель: |2*(3√3/2) + (-√3)*(9/2) + 3√3| = |3√3 - (9√3)/2 + 3√3| = |6√3 - (9√3)/2| = |(12√3 - 9√3)/2| = |(3√3)/2| = (3√3)/2. Знаменатель: √(4 + 3) = √7.
Шаг 11
d = ((3√3)/2) / √7 = (3√3)/(2√7). Рационализируем: (3√21)/14.
Результат:
Расстояние найдено.
Окончательный ответ:
$\frac{3\sqrt{21}}{14}$