Шаг 1
Упростим уравнение.
Исходное: $9\sin 2x - 3\sqrt{2\sin x} \cdot \sqrt{11\sin x} = 0$.
Так как $\sqrt{2\sin x} \cdot \sqrt{11\sin x} = \sqrt{22\sin^2 x} = \sqrt{22} \cdot |\sin x|$, получаем:
$9\sin 2x - 3\sqrt{22} \cdot |\sin x| = 0$.
Исходное: $9\sin 2x - 3\sqrt{2\sin x} \cdot \sqrt{11\sin x} = 0$.
Так как $\sqrt{2\sin x} \cdot \sqrt{11\sin x} = \sqrt{22\sin^2 x} = \sqrt{22} \cdot |\sin x|$, получаем:
$9\sin 2x - 3\sqrt{22} \cdot |\sin x| = 0$.
Результат:
$9\sin 2x - 3\sqrt{22} \cdot |\sin x| = 0$.
Шаг 2
Делим на 3 и используем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$3\sin 2x - \sqrt{22} \cdot |\sin x| = 0$
$6\sin x \cos x - \sqrt{22} \cdot |\sin x| = 0$
$|\sin x| \left( 6\cos x \cdot \frac{\sin x}{|\sin x|} - \sqrt{22} \right) = 0$.
$3\sin 2x - \sqrt{22} \cdot |\sin x| = 0$
$6\sin x \cos x - \sqrt{22} \cdot |\sin x| = 0$
$|\sin x| \left( 6\cos x \cdot \frac{\sin x}{|\sin x|} - \sqrt{22} \right) = 0$.
Результат:
уравнение распадается на два случая: $\sin x = 0$ и $\sin x \neq 0$.
Шаг 3
Случай $\sin x = 0$.
Тогда $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Результат:
первая серия $x = \pi n$.
Шаг 4
Случай $\sin x \neq 0$. Тогда $|\sin x| > 0$, делим на $|\sin x|$:
$6\cos x \cdot \frac{\sin x}{|\sin x|} = \sqrt{22}$.
Обозначим $s = \operatorname{sign}(\sin x) = \pm 1$. Тогда $6 s \cos x = \sqrt{22}$, откуда $\cos x = \frac{\sqrt{22}}{6s}$.
Так как $\left| \frac{\sqrt{22}}{6} \right| \approx 0.7817 < 1$, решения существуют.
$6\cos x \cdot \frac{\sin x}{|\sin x|} = \sqrt{22}$.
Обозначим $s = \operatorname{sign}(\sin x) = \pm 1$. Тогда $6 s \cos x = \sqrt{22}$, откуда $\cos x = \frac{\sqrt{22}}{6s}$.
Так как $\left| \frac{\sqrt{22}}{6} \right| \approx 0.7817 < 1$, решения существуют.
Шаг 5
Найдём решения. Пусть $\alpha = \arccos\left( \frac{\sqrt{22}}{6} \right)$.
1) Если $\sin x > 0$, то $s = 1$, $\cos x = \frac{\sqrt{22}}{6} > 0$. Значит, $x$ находится в I четверти: $x = \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) Если $\sin x < 0$, то $s = -1$, $\cos x = -\frac{\sqrt{22}}{6} < 0$. Значит, $x$ находится в III четверти: $x = \pi + \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
1) Если $\sin x > 0$, то $s = 1$, $\cos x = \frac{\sqrt{22}}{6} > 0$. Значит, $x$ находится в I четверти: $x = \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
2) Если $\sin x < 0$, то $s = -1$, $\cos x = -\frac{\sqrt{22}}{6} < 0$. Значит, $x$ находится в III четверти: $x = \pi + \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
дополнительные серии: $x = \alpha + 2\pi k$ и $x = \pi + \alpha + 2\pi k$, где $\alpha = \arccos\left( \frac{\sqrt{22}}{6} \right)$.
Шаг 6
Общее решение уравнения:
$x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$;
$x = \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;
$x = \pi + \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, где $\alpha = \arccos\left( \frac{\sqrt{22}}{6} \right)$.
$x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$;
$x = \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;
$x = \pi + \alpha + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, где $\alpha = \arccos\left( \frac{\sqrt{22}}{6} \right)$.
Шаг 7
Отбор корней на отрезке $\left[ \frac{7\pi}{2}, 5\pi \right]$.
Серия $x = \pi n$:
$n = 4$: $x = 4\pi \in \left[ \frac{7\pi}{2}, 5\pi \right]$;
$n = 5$: $x = 5\pi$ (граница) — включаем.
Серия $x = \alpha + 2\pi k$:
$k = 2$: $x = \alpha + 4\pi \in \left[ \frac{7\pi}{2}, 5\pi \right]$;
$k = 1$ и $k \geq 3$ не попадают в отрезок.
Серия $x = \pi + \alpha + 2\pi k$:
При $k = 1$ и $k = 2$ значения не попадают в отрезок.
Серия $x = \pi n$:
$n = 4$: $x = 4\pi \in \left[ \frac{7\pi}{2}, 5\pi \right]$;
$n = 5$: $x = 5\pi$ (граница) — включаем.
Серия $x = \alpha + 2\pi k$:
$k = 2$: $x = \alpha + 4\pi \in \left[ \frac{7\pi}{2}, 5\pi \right]$;
$k = 1$ и $k \geq 3$ не попадают в отрезок.
Серия $x = \pi + \alpha + 2\pi k$:
При $k = 1$ и $k = 2$ значения не попадают в отрезок.
Результат:
корни на отрезке: $4\pi$, $\alpha + 4\pi$, $5\pi$.
Окончательный ответ: