Шаг 1
Введем замену $t = 3^{x} > 0$. Исходное неравенство принимает вид:
$t + \frac{243}{t-84} \le 0$.
$t + \frac{243}{t-84} \le 0$.
Шаг 2
Приведем к общему знаменателю и рассмотрим два случая для знака знаменателя $(t-84)$.
Случай 1: $t > 84$. Умножаем неравенство на положительный знаменатель:
$t(t-84) + 243 \le 0 \Rightarrow t^{2} - 84t + 243 \le 0$.
Корни квадратного трехчлена: $t = 3$ и $t = 81$. Решение: $t \in [3, 81]$, что не пересекается с условием $t > 84$. В этом случае решений нет.
Случай 2: $0 < t < 84$. Умножаем неравенство на отрицательный знаменатель, меняя знак:
$t(t-84) + 243 \ge 0 \Rightarrow t^{2} - 84t + 243 \ge 0$.
Решение квадратного неравенства: $t \le 3$ или $t \ge 81$.
Учитывая область $0 < t < 84$, получаем: $0 < t \le 3$ или $81 \le t < 84$.
Случай 1: $t > 84$. Умножаем неравенство на положительный знаменатель:
$t(t-84) + 243 \le 0 \Rightarrow t^{2} - 84t + 243 \le 0$.
Корни квадратного трехчлена: $t = 3$ и $t = 81$. Решение: $t \in [3, 81]$, что не пересекается с условием $t > 84$. В этом случае решений нет.
Случай 2: $0 < t < 84$. Умножаем неравенство на отрицательный знаменатель, меняя знак:
$t(t-84) + 243 \ge 0 \Rightarrow t^{2} - 84t + 243 \ge 0$.
Решение квадратного неравенства: $t \le 3$ или $t \ge 81$.
Учитывая область $0 < t < 84$, получаем: $0 < t \le 3$ или $81 \le t < 84$.
Шаг 3
Возвращаемся к переменной $x$, где $t = 3^{x}$.
Из $0 < t \le 3$: $3^{x} \le 3^{1} \Rightarrow x \le 1$.
Из $81 \le t < 84$: $3^{x} \ge 3^{4} \Rightarrow x \ge 4$ и $3^{x} < 84 \Rightarrow x < \log_{3} 84$.
Из $0 < t \le 3$: $3^{x} \le 3^{1} \Rightarrow x \le 1$.
Из $81 \le t < 84$: $3^{x} \ge 3^{4} \Rightarrow x \ge 4$ и $3^{x} < 84 \Rightarrow x < \log_{3} 84$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, 1] \cup [4, \log_{3} 84)$.