Шаг 1
Введем замену $t = |x-a-1| + |x-a+1|$. Так как $t$ — сумма модулей, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид $t^2 + a t + a^2 - 16 = 0$. Результат: Исходное уравнение свелось к квадратному относительно $t \ge 0$. Шаг 2: Исследуем функцию $t(x)$. Точки излома: $x_1 = a-1$, $x_2 = a+1$. 1) При $x \le a-1$: $t = -(x-a-1) - (x-a+1) = -2x + 2a$. 2) При $a-1 \le x \le a+1$: $t = -(x-a-1) + (x-a+1) = 2$. 3) При $x \ge a+1$: $t = (x-a-1) + (x-a+1) = 2x - 2a$. Результат: $t(x)$ — кусочно-линейная функция, минимальное значение $t_{min} = 2$ достигается на отрезке $[a-1, a+1]$, на лучах $t$ линейно возрастает от $2$ до $+\infty$. Шаг 3: Квадратное уравнение $t^2 + a t + a^2 - 16 = 0$ должно иметь такие корни $t_1, t_2$, чтобы исходное уравнение относительно $x$ имело ровно два различных корня. Дискриминант: $D = a^2 - 4(a^2 - 16) = -3a^2 + 64$. Условие существования корней: $D \ge 0 \Rightarrow -3a^2 + 64 \ge 0 \Rightarrow a^2 \le \frac{64}{3} \Rightarrow |a| \le \frac{8}{\sqrt{3}}$. Корни: $t = \frac{-a \pm \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. Шаг 4: Анализ количества решений $x$ для заданного $t$. Если $t = 2$, то решений $x$ — целый отрезок $[a-1, a+1]$ (бесконечно много). Если $t > 2$, то уравнение $|x-a-1| + |x-a+1| = t$ имеет ровно два решения (симметрично относительно $a$). Если $t < 2$, то решений нет. Шаг 5: Рассмотрим случаи по количеству положительных корней $t$. Случай 1: Один корень $t_1 > 2$, второй $t_2 < 2$ (или отрицательный). Тогда для $t_1$ будет ровно два решения $x$, для $t_2$ — ноль. Итого 2 корня. Условия: 1) $t_1 > 2$, $t_2 < 2$ (или $t_2 < 0$). 2) Корни действительные: $D > 0$ (строго, чтобы были разные). 3) $t_2$ может быть отрицательным, но тогда автоматически $t_2 < 2$. Случай 2: Оба корня $t_1, t_2 > 2$. Тогда для каждого будет по два решения $x$, итого 4 корня (если $t_1 \ne t_2$). Не подходит. Случай 3: Один корень $t_1 = 2$, второй $t_2 \ne 2$. Тогда для $t_1$ — бесконечно много решений, для $t_2$ — либо 0, либо 2. Не подходит. Случай 4: Оба корня $t_1 = t_2 = 2$ (кратный корень). Тогда $t=2$ — единственное значение, дает бесконечно много решений. Не подходит. Случай 5: Один корень $t_1 > 2$, второй $t_2 = 2$. Тогда для $t_1$ — 2 решения, для $t_2$ — бесконечно много. Итого бесконечно много. Не подходит. Значит, подходит только Случай 1. Шаг 6: Условия для Случая 1. Пусть $t_1 = \frac{-a + \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$, $t_2 = \frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. Так как $t \ge 0$, нужно $t_1 > 2$ и $t_2 < 2$ (при этом $t_2$ может быть отрицательным). Также $D > 0$ (корни различны) $\Rightarrow 64 - 3a^2 > 0 \Rightarrow a^2 < \frac{64}{3}$. Проверим $t_2$: $t_2 = \frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. Заметим, что $\sqrt{64 - 3a^2} \ge 0$, поэтому $t_2 \le \frac{-a}{2}$. Если $a > 0$, то $t_2 < 0$ (автоматически < 2). Если $a \le 0$, то $t_2$ может быть неотрицательным. Нужно, чтобы $t_2 < 2$. Условие $t_1 > 2$: $\frac{-a + \sqrt{64 - 3a^2}}{2} > 2 \Rightarrow -a + \sqrt{64 - 3a^2} > 4 \Rightarrow \sqrt{64 - 3a^2} > a + 4$. Это неравенство нужно решить при $a^2 < \frac{64}{3}$. Рассмотрим два подслучая: 1) Если $a + 4 < 0$ (т.е. $a < -4$), то неравенство $\sqrt{64 - 3a^2} > a+4$ выполнено автоматически (левая часть неотрицательна, правая отрицательна). 2) Если $a + 4 \ge 0$ (т.е. $a \ge -4$), то обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $64 - 3a^2 > (a+4)^2 \Rightarrow 64 - 3a^2 > a^2 + 8a + 16 \Rightarrow -4a^2 - 8a + 48 > 0 \Rightarrow a^2 + 2a - 12 < 0$. Корни $a = -1 \pm \sqrt{13}$. Решение: $a \in (-1 - \sqrt{13}, -1 + \sqrt{13})$. Учитывая $a \ge -4$, получаем $a \in [-4, -1 + \sqrt{13})$ (так как $-1 - \sqrt{13} \approx -4.61 < -4$). Объединяя: $t_1 > 2$ при $a < -4$ или $a \in [-4, -1 + \sqrt{13})$. Но также $a^2 < \frac{64}{3} \Rightarrow |a| < \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62$. Интервал $a < -4$ пересекается с $|a| < 4.62$ дает $a \in (-\frac{8}{\sqrt{3}}, -4)$ (так как $-\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$). Итак, $t_1 > 2$ при $a \in (-\frac{8}{\sqrt{3}}, -4) \cup [-4, -1 + \sqrt{13}) = (-\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13})$. Теперь условие $t_2 < 2$: $\frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2} < 2 \Rightarrow -a - \sqrt{64 - 3a^2} < 4 \Rightarrow -a - 4 < \sqrt{64 - 3a^2}$. Если $-a - 4 < 0$ (т.е. $a > -4$), то неравенство выполнено (левая часть отрицательна, правая неотрицательна). Если $-a - 4 \ge 0$ (т.е. $a \le -4$), то обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $(-a-4)^2 < 64 - 3a^2 \Rightarrow a^2 + 8a + 16 < 64 - 3a^2 \Rightarrow 4a^2 + 8a - 48 < 0 \Rightarrow a^2 + 2a - 12 < 0$. Решение: $a \in (-1 - \sqrt{13}, -1 + \sqrt{13})$. Учитывая $a \le -4$, получаем $a \in (-1 - \sqrt{13}, -4]$ (так как $-1 - \sqrt{13} \approx -4.61$). Но $a$ должно удовлетворять $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62$, что для $a \le -4$ дает $a > -\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$. Интервал $(-1 - \sqrt{13}, -4]$ примерно $(-4.61, -4]$. С учетом $a > -4.62$ получаем $a \in (-1 - \sqrt{13}, -4]$ (так как $-1 - \sqrt{13} > -4.62$). Объединяя с условием $a > -4$ (где $t_2 < 2$ автоматически), получаем $t_2 < 2$ при всех $a$ из области $|a| < \frac{8}{\sqrt{3}}$, кроме, возможно, случая $t_2 = 2$. Проверим $t_2 = 2$: $\frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2} = 2 \Rightarrow -a - \sqrt{64 - 3a^2} = 4 \Rightarrow \sqrt{64 - 3a^2} = -a-4$. При $a \le -4$ возводим: $64 - 3a^2 = a^2 + 8a + 16 \Rightarrow 4a^2 + 8a - 48 = 0 \Rightarrow a^2 + 2a - 12 = 0 \Rightarrow a = -1 \pm \sqrt{13}$. Из $a \le -4$ подходит только $a = -1 - \sqrt{13} \approx -4.61$. Но тогда $t_1 = \frac{-a + \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. При $a = -1 - \sqrt{13}$ имеем $\sqrt{64 - 3a^2} = \sqrt{64 - 3(1 + 2\sqrt{13} + 13)} = \sqrt{64 - 42 - 6\sqrt{13}} = \sqrt{22 - 6\sqrt{13}}$. Это положительно? $22^2=484$, $(6\sqrt{13})^2=468$, да. Тогда $t_1 = \frac{1+\sqrt{13} + \sqrt{22-6\sqrt{13}}}{2} > 2$? Проверим приближенно: $\sqrt{13}\approx 3.61$, $1+3.61=4.61$, $\sqrt{22-6*3.61}=\sqrt{22-21.66}=\sqrt{0.34}\approx 0.58$, сумма $5.19$, делим на 2: $2.595>2$. Значит, при $a = -1 - \sqrt{13}$ имеем $t_1 > 2$, $t_2 = 2$. Это Случай 5 (бесконечно много решений). Поэтому $a = -1 - \sqrt{13}$ не подходит. Аналогично, при $a = -1 + \sqrt{13} \approx 2.61$: $t_2 = \frac{-a - \sqrt{64 - 3a^2}}{2}$. Вычислим $\sqrt{64 - 3a^2}$ при $a = -1 + \sqrt{13}$: $a^2 = 1 - 2\sqrt{13} + 13 = 14 - 2\sqrt{13}$, $3a^2 = 42 - 6\sqrt{13}$, $64 - 3a^2 = 22 + 6\sqrt{13}$, $\sqrt{22+6\sqrt{13}} \approx \sqrt{22+21.66}=\sqrt{43.66}\approx 6.61$. Тогда $t_2 = \frac{-(-1+\sqrt{13}) - 6.61}{2} = \frac{1-\sqrt{13}-6.61}{2} \approx \frac{1-3.61-6.61}{2} = \frac{-9.22}{2} = -4.61 < 2$. А $t_1 = \frac{-a + \sqrt{64-3a^2}}{2} = \frac{1-\sqrt{13}+6.61}{2} \approx \frac{1-3.61+6.61}{2} = \frac{4}{2}=2$. То есть при $a = -1 + \sqrt{13}$ получаем $t_1 = 2$, $t_2 < 2$. Это Случай 5 (бесконечно много решений). Поэтому $a = -1 + \sqrt{13}$ не подходит. Таким образом, нужно исключить точки, где $t_1 = 2$ или $t_2 = 2$. Мы нашли, что $t_1 = 2$ при $a = -1 + \sqrt{13}$, $t_2 = 2$ при $a = -1 - \sqrt{13}$. Также нужно исключить $a$, при которых $t_1 = t_2$ (кратный корень), но это при $D=0$, т.е. $a = \pm \frac{8}{\sqrt{3}}$. При $a = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.62$: $t = \frac{-a}{2} = -\frac{4}{\sqrt{3}} < 0$ — нет решений. При $a = -\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$: $t = \frac{-a}{2} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 > 2$ — тогда уравнение $t=2.31$ дает 2 решения $x$, но это единственный $t$ (кратный корень), значит, ровно 2 корня $x$. Проверим: при $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$ имеем $t = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2.31 > 2$, поэтому исходное уравнение имеет ровно два решения $x$. Значит, $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$ подходит. Итак, окончательно: $a \in (-\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13})$, но исключая $a = -1 - \sqrt{13}$ (не входит, т.к. $-1 - \sqrt{13} \approx -4.61 > -\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$? Сравним: $-\frac{8}{\sqrt{3}} = -\frac{8\sqrt{3}}{3} \approx -4.6188$, $-1 - \sqrt{13} \approx -1 - 3.6056 = -4.6056$. Так что $-1 - \sqrt{13} > -\frac{8}{\sqrt{3}}$, значит, $-1 - \sqrt{13}$ лежит внутри интервала. Её исключаем, так как при ней $t_2=2$. Также исключаем $a = -1 + \sqrt{13}$ (конечная точка). И включаем $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$. Таким образом, $a \in \left( -\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13} \right) \setminus \{ -1 - \sqrt{13} \}$. Но $-1 - \sqrt{13}$ лежит левее $-4$, а интервал $(-\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13})$ включает значения от примерно $-4.62$ до $2.61$. При этом $(-1 - \sqrt{13}) \approx -4.6056$, что очень близко к $-\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.6188$, и $-1 - \sqrt{13} > -\frac{8}{\sqrt{3}}$, значит, она входит в интервал. Поэтому ответ: $a \in \left( -\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13} \right) \setminus \{ -1 - \sqrt{13} \}$ и также $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$. Проверим границу $a = -1 + \sqrt{13}$: как выяснили, $t_1=2$, бесконечно много решений — не подходит. Проверим $a = -1 - \sqrt{13}$: $t_2=2$, бесконечно много — не подходит. Проверим $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$: $D=0$, $t = \frac{4}{\sqrt{3}} > 2$ — ровно два решения $x$ — подходит. Итак, окончательный ответ в виде объединения: $a \in \left( -\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13} \right) \setminus \{ -1 - \sqrt{13} \}$ и $a = -\frac{8}{\sqrt{3}}$. Можно записать как: $a \in \left[ -\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13} \right) \setminus \{ -1 - \sqrt{13} \}$. Шаг 7: Проверим условие $D > 0$: $a^2 < \frac{64}{3}$. В нашем множестве это выполняется, так как $-\frac{8}{\sqrt{3}} \le a < -1 + \sqrt{13} \approx 2.61$, и $2.61^2=6.8121 < 64/3 \approx 21.33$. Окончательный ответ: $a \in \left[ -\frac{8}{\sqrt{3}}, -1 + \sqrt{13} \right) \setminus \{ -1 - \sqrt{13} \}$. В числовой форме: $-\frac{8}{\sqrt{3}} \approx -4.62$, $-1 - \sqrt{13} \approx -4.61$, $-1 + \sqrt{13} \approx 2.61$. Итак, это объединение интервала $[-4.62, -4.61)$ и интервала $(-4.61, 2.61)$. Окончательный ответ: $[-4.62, -4.61) \cup (-4.61, 2.61)$