Задание B6C70F

Шаг 1 ▼

Введем замену $t = 4x - 3|x + a^2| + |x - 1| + 3a^2$. Тогда уравнение принимает вид $t^2 - (a+1)t + 4 = 0$.

Результат:

квадратное уравнение относительно $t$.

Шаг 2 ▼

Решаем квадратное уравнение: $t^2 - (a+1)t + 4 = 0$. Дискриминант $D = (a+1)^2 - 16 = a^2 + 2a - 15 = (a+5)(a-3)$. Корни: $t_{1,2} = \frac{a+1 \pm \sqrt{(a+5)(a-3)}}{2}$.

Результат:

$D \ge 0$ при $a \le -5$ или $a \ge 3$.

Шаг 3 ▼

Исследуем функцию $t(x) = 4x - 3|x + a^2| + |x - 1| + 3a^2$. Критические точки: $x = -a^2$ и $x = 1$. Поскольку $-a^2 \le 0 < 1$, порядок на прямой: $x < -a^2$, $-a^2 \le x < 1$, $x \ge 1$.

1) При $x < -a^2$: $t = 6x + 6a^2 + 1$, возрастает от $-\infty$ до $1$.
2) При $-a^2 \le x < 1$: $t \equiv 1$.
3) При $x \ge 1$: $t = 2x - 1$, возрастает от $1$ до $+\infty$.

Результат:

Уравнение $t(x) = C$ имеет: одно решение при $C < 1$, бесконечно много решений при $C = 1$, одно решение при $C > 1$.

Шаг 4 ▼

Исходное уравнение имеет ровно два различных корня $x$, если квадратное уравнение имеет два различных корня $t_1 \ne t_2$, и ни один из них не равен $1$ (иначе будет бесконечно много решений). Случай $D=0$ (один корень $t_0$) не подходит, так как тогда $t(x)=t_0$ дает только одно решение $x$.

Шаг 5 ▼

Условие $D > 0$: $(a+5)(a-3) > 0 \Rightarrow a < -5$ или $a > 3$.

Условие $t_i \ne 1$: подставим $t=1$ в квадратное уравнение: $1 - (a+1) + 4 = 0 \Rightarrow a = 4$. Значит, при $a = 4$ один корень равен $1$, что недопустимо.

Шаг 6 ▼

Проверим граничные точки $a = -5$ и $a = 3$ (где $D=0$). При $a=-5$: $t_0 = -2$, одно решение $x$. При $a=3$: $t_0 = 2$, одно решение $x$. Оба случая не дают двух корней.

Результат:

Исходное уравнение имеет ровно два корня при $D > 0$ и $a \ne 4$, то есть при $a < -5$ или $a > 3$, исключая $a = 4$.