Шаг 1
Так как $\alpha \perp (ABCD)$, линия пересечения $\alpha$ и $(ABCD)$ — прямая $m$, причём $m \perp SO$ (поскольку $SO \perp (ABCD)$). В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ проходит через $O$ и $AC \perp SO$. Поэтому в плоскости основания $m \parallel AC$.
Шаг 2
Сечение — правильный треугольник. Из симметрии пирамиды и условия $\alpha \perp (ABCD)$ следует, что $\alpha$ пересекает рёбра $SA$, $AB$, $AD$ в точках $K$, $L$, $P$ соответственно. Тогда $LP \subset m$, и так как $m \parallel AC$, то $LP \parallel AC$. В квадрате $AC \perp BD$, а $LP \parallel BD$ (по построению симметричного сечения), поэтому $AC \perp LP$.
Шаг 3
Пусть $K_0$ — проекция $K$ на основание, тогда $K_0 \in AO$ и $KK_0 \perp (ABCD)$. Значит, $KK_0 \parallel SO$, и поскольку $SO \perp AC$, то $KK_0 \perp AC$.
Шаг 4
В плоскости $\alpha$ прямые $LP$ и $KK_0$ пересекаются в точке $K_0$. Мы показали, что $AC \perp LP$ и $AC \perp KK_0$. Следовательно, $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в $\alpha$, значит, $AC \perp \alpha$. Доказано.
б) Найти $SK:KA$, если объём пирамиды $V = 18\sqrt{3}$
б) Найти $SK:KA$, если объём пирамиды $V = 18\sqrt{3}$
Шаг 1
Площадь правильного треугольника сечения равна $4\sqrt{3}$. Формула площади: $S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$, откуда $a^{2} = 16$, $a = 4$. Сторона сечения $LP = 4$.
Шаг 2
Введём координаты в основании: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,a)$, $O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$. Пусть $K_0(t,t)$ на $AO$ ($0 \le t \le a/2$). Прямая $LP \parallel BD$ (уравнение $y = -x + a$) и проходит через $K_0$: $t = -t + b \Rightarrow b = 2t$. Тогда $L(2t,0)$, $P(0,2t)$. Длина $LP = \sqrt{(2t)^{2} + (2t)^{2}} = 2\sqrt{2}t$. Из $LP = 4$ получаем $2\sqrt{2}t = 4 \Rightarrow t = \sqrt{2}$.
Шаг 3
Высота $KK_0$ в равностороннем треугольнике $KLP$ со стороной $4$ равна $2\sqrt{3}$. Так как $KK_0 \parallel SO$, из подобия треугольников $SAO$ и $KAK_0$ имеем:
$$
\frac{KK_0}{SO} = \frac{AK_0}{AO}.
$$
Здесь $AK_0 = \sqrt{2} \cdot t = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Подставляем:
$$
\frac{2\sqrt{3}}{h} = \frac{2}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{a\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{h} = \frac{4}{a\sqrt{2}} \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{6}}{2}.
$$
$$
\frac{KK_0}{SO} = \frac{AK_0}{AO}.
$$
Здесь $AK_0 = \sqrt{2} \cdot t = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Подставляем:
$$
\frac{2\sqrt{3}}{h} = \frac{2}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{a\sqrt{2}} \Rightarrow \frac{2\sqrt{3}}{h} = \frac{4}{a\sqrt{2}} \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{6}}{2}.
$$
Шаг 4
Объём пирамиды $V = \frac{1}{3} a^{2} h = 18\sqrt{3}$. Подставляем $h$:
$$
\frac{1}{3} a^{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} = 18\sqrt{3} \Rightarrow \frac{a^{3}\sqrt{6}}{6} = 18\sqrt{3} \Rightarrow a^{3} = \frac{108\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 54\sqrt{2} \Rightarrow a = 3\sqrt{2}.
$$
$$
\frac{1}{3} a^{2} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} = 18\sqrt{3} \Rightarrow \frac{a^{3}\sqrt{6}}{6} = 18\sqrt{3} \Rightarrow a^{3} = \frac{108\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = 54\sqrt{2} \Rightarrow a = 3\sqrt{2}.
$$
Шаг 5
Теперь $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 3$. $AK_0 = 2$, значит, $K_0O = 3 - 2 = 1$. Из подобия $\frac{SK}{KA} = \frac{K_0O}{AK_0} = \frac{1}{2}$.
Окончательный ответ для б): $SK:KA = 1:2$.
Окончательный ответ для б): $SK:KA = 1:2$.