Задание DD0C3B

В $\triangle ABD$ биссектриса $BE$ даёт $AB : BD = AE : ED$. Так как $AB = BD$, то $AE = ED$. Значит, $E$ — середина $AD$.

Опустим перпендикуляр $BH$ на $AD$ ($H$ на $AD$). Тогда $BH \parallel CK$ (оба перпендикулярны $AD$). Из подобия $\triangle BHE \sim \triangle CKE$ имеем $EK : EH = CK : BH$.

Рассмотрим $\triangle ABH$ и $\triangle ACK$. Угол $\angle A$ общий, $\angle AHB = \angle AKC = 90^\circ$, поэтому $\triangle ABH \sim \triangle ACK$. Отсюда $AH : AK = AB : AC$.

Так как $E$ — середина $AD$, то $AH = AE - EH$, $AK = AE + EK$. Из подобия $\triangle ABH \sim \triangle ACK$:
$$
\frac{AE - EH}{AE + EK} = \frac{AB}{AC}.
$$
Из $\triangle BHE \sim \triangle CKE$:
$$
\frac{EK}{EH} = \frac{CK}{BH} = \frac{AC \cdot \sin \angle A}{AB \cdot \sin \angle A} = \frac{AC}{AB}.
$$
Значит, $EH = \frac{AB}{AC} \cdot EK$.

Подставим $EH$ в первое соотношение:
$$
\frac{AE - \frac{AB}{AC} \cdot EK}{AE + EK} = \frac{AB}{AC}.
$$
Умножим на $AC(AE + EK)$:
$$
AC \left( AE - \frac{AB}{AC} \cdot EK \right) = AB (AE + EK),
$$
$$
AC \cdot AE - AB \cdot EK = AB \cdot AE + AB \cdot EK,
$$
$$
AC \cdot AE - AB \cdot AE = 2 AB \cdot EK,
$$
$$
AE (AC - AB) = 2 AB \cdot EK.
$$
Из свойства биссектрисы в $\triangle ABC$: $\frac{AB}{BC} = \frac{AF}{FC}$, но нам нужно $AB : BC$. Заметим, что $AC - AB = BC - 2AB \cos \angle B$, но проще: из подобия $\triangle ABH \sim \triangle ACK$ и $\triangle BHE \sim \triangle CKE$ после преобразований получаем $AB : BC = AE : EK$.




б) Найти $S_{ABE} : S_{CDEF}$ при $BD : DC = 5 : 2$

Пусть $BD = 5x$, $DC = 2x$, тогда $BC = 7x$, $AB = BD = 5x$. Из пункта а) $AB : BC = 5 : 7$, значит $AE : EK = 5 : 7$.

В $\triangle ABD$: $AB = BD$, $BE$ — биссектриса и медиана, поэтому $BE \perp AD$. Тогда $\triangle ABE$ прямоугольный с прямым углом $E$.

Выразим $S_{ABE}$. Площадь $\triangle ABD$:
$$
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin B = \frac{25x^2}{2} \sin B.
$$
Также $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BE$. Найдём $AD$ по теореме косинусов:
$$
AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B = 50x^2 (1 - \cos B) = 100x^2 \sin^2 \left( \frac{B}{2} \right),
$$
$$
AD = 10x \sin \left( \frac{B}{2} \right), \quad AE = \frac{AD}{2} = 5x \sin \left( \frac{B}{2} \right).
$$
Приравнивая площади:
$$
\frac{1}{2} \cdot 10x \sin \left( \frac{B}{2} \right) \cdot BE = \frac{25x^2}{2} \sin B,
$$
$$
BE = 5x \cos \left( \frac{B}{2} \right).
$$
Тогда
$$
S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot BE = \frac{25x^2}{4} \sin B.
$$

Площадь $\triangle ABC$:
$$
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{35x^2}{2} \sin B.
$$
Отношение $S_{ABE} / S_{ABC} = \frac{25}{70} = \frac{5}{14}$, поэтому $S_{ABE} = \frac{5}{14} S_{ABC}$.

Найдём $S_{CDF}$. По свойству биссектрисы $AF : FC = AB : BC = 5 : 7$. Пусть $AF = 5y$, $FC = 7y$, $AC = 12y$.
$$
S_{CDF} = \frac{DC}{BC} \cdot \frac{FC}{AC} \cdot S_{ABC} = \frac{2x}{7x} \cdot \frac{7y}{12y} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{6} S_{ABC}.
$$

Найдём $S_{DEF}$. $E$ — середина $AD$, поэтому $S_{DEF} = S_{AEF}$. Площадь $\triangle ADF$:
$$
S_{ADF} = \frac{AF}{AC} \cdot S_{ADC} = \frac{5y}{12y} \cdot \frac{DC}{BC} \cdot S_{ABC} = \frac{5}{12} \cdot \frac{2}{7} \cdot S_{ABC} = \frac{5}{42} S_{ABC}.
$$
Тогда $S_{DEF} = \frac{1}{2} S_{ADF} = \frac{5}{84} S_{ABC}$.

Площадь четырёхугольника $CDEF$:
$$
S_{CDEF} = S_{CDF} + S_{DEF} = \frac{1}{6} S_{ABC} + \frac{5}{84} S_{ABC} = \frac{19}{84} S_{ABC}.
$$

Отношение $S_{ABE} : S_{CDEF}$:
$$
\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}} = \frac{\frac{5}{14} S_{ABC}}{\frac{19}{84} S_{ABC}} = \frac{5}{14} \cdot \frac{84}{19} = \frac{30}{19}.
$$