Задание DED3A9

Введём замену $t = a-3$. Уравнение принимает вид $x^4 + t^2 = |x-t| + |x+t|$.

Исследуем правую часть. Функция $R(x) = |x-t| + |x+t|$ чётная и кусочно-линейная. Её можно записать как:
- $R(x) = -2x$ при $x \leq -|t|$,
- $R(x) = 2|t|$ при $-|t| \leq x \leq |t|$,
- $R(x) = 2x$ при $x \geq |t|$.

Левая часть $L(x) = x^4 + t^2$ чётная, с минимумом $t^2$ в точке $x=0$.

Из чётности обеих частей следует, что ненулевые корни возникают парами. Единственное решение возможно только если $x=0$ — корень и других корней нет, либо если корней нет вовсе.

Найдём условия, при которых $x=0$ — корень. Подставляем: $0^4 + t^2 = |0-t| + |0+t| = 2|t|$. Получаем $t^2 = 2|t| \Rightarrow |t|(|t|-2)=0$. Отсюда $|t|=0$ или $|t|=2$. Случай $t=0$ ($a=3$) даёт три корня: $0, \sqrt[3]{2}, -\sqrt[3]{2}$, не подходит. Случай $|t|=2$ ($t=\pm 2$) соответствует $a=1$ или $a=5$. Проверка показывает, что при этих $a$ корень есть только при $x=0$.

Условие отсутствия решений. Решений нет, если $L(x) > R(x)$ при всех $x$. Минимум $L(x)$ равен $t^2$, минимум $R(x)$ равен $2|t|$. Необходимое условие: $t^2 > 2|t| \Rightarrow |t| > 2$. При $|t| > 2$ это неравенство выполняется в точке $x=0$. На промежутке $[-|t|, |t|]$: $L(x) \geq t^2 > 2|t| = R(x)$. При $x \geq |t|$: $L(x)-R(x) = x^4 + t^2 - 2x$. Функция $h(x)=x^4 - 2x + t^2$ возрастает при $x > \sqrt[3]{1/2}$, и $h(|t|) = |t|^4 - 2|t| + t^2 > 0$ при $|t|>2$. Аналогично для $x \leq -|t|$. Значит, при $|t| > 2$ неравенство $L(x) > R(x)$ верно для всех $x$, следовательно, решений нет. Это соответствует $|a-3| > 2$, т.е. $a < 1$ или $a > 5$.

Объединяем условия. При $|a-3| > 2$ решений нет. При $|a-3| = 2$ ($a=1$ или $a=5$) есть единственный корень $x=0$. При $|a-3| < 2$ и $a \neq 3$ уравнение имеет как минимум два симметричных корня, а при $a=3$ — три корня, что не удовлетворяет условию.