Шаг 1
Введём систему координат. Поместим центр основания шестиугольника в точку O(0,0,0). Вершину A примем за (5,0,0), а противоположную вершину D — за (-5,0,0). Высота пирамиды SO находится из условия SA=9: SO = $\sqrt{9^2 - 5^2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$. Тогда S = (0,0,2$\sqrt{14}$).
Шаг 2
Пусть точки M и N лежат на рёбрах SA и SD соответственно, причём SM:MA = SN:ND = t:(1-t). Тогда их координаты:
M = S + t(A–S) = (5t, 0, 2$\sqrt{14}$(1-t)),
N = S + t(D–S) = (-5t, 0, 2$\sqrt{14}$(1-t)).
M = S + t(A–S) = (5t, 0, 2$\sqrt{14}$(1-t)),
N = S + t(D–S) = (-5t, 0, 2$\sqrt{14}$(1-t)).
Шаг 3
Из условия MN = 4 находим t. Расстояние MN = 10t = 4 $\Rightarrow$ t = 0.4.
Шаг 4
Подставляем t. M = (2, 0, 1.2$\sqrt{14}$), N = (-2, 0, 1.2$\sqrt{14}$). Точки M и N имеют одинаковую z-координату, поэтому отрезок MN горизонтален. Плоскость SMN содержит вертикальную прямую SO, следовательно, она перпендикулярна горизонтальной плоскости основания. Доказан пункт (а).
Шаг 5
Находим стороны треугольника SMN. SM = SN = 9 * 0.4 = 3.6, MN = 4. Высота треугольника из вершины S на сторону MN: h = $\sqrt{SM^2 - \left(\frac{MN}{2}\right)^2} = \sqrt{(3.6)^2 - 2^2} = \sqrt{12.96 - 4} = \sqrt{8.96} = 0.8\sqrt{14}$.
Шаг 6
Площадь треугольника SMN: $S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0.8\sqrt{14} = 1.6\sqrt{14} = \frac{8\sqrt{14}}{5}$.
Окончательный ответ:
$\frac{8\sqrt{14}}{5}$