Шаг 1
Упростим уравнение.
Дано: $a^{2} - a x - 2 x^{2} - 6 a + 3 x + 9 |x| = 0$.
Сгруппируем: $-2x^{2} + x(3-a) + 9|x| + (a^{2} - 6a) = 0$.
Дано: $a^{2} - a x - 2 x^{2} - 6 a + 3 x + 9 |x| = 0$.
Сгруппируем: $-2x^{2} + x(3-a) + 9|x| + (a^{2} - 6a) = 0$.
Результат:
уравнение имеет вид $-2x^{2} + x(3-a) + 9|x| + (a^{2} - 6a) = 0$.
Шаг 2
Рассмотрим два случая.
Случай $x \ge 0$ ($|x|=x$):
$-2x^{2} + (3-a)x + 9x + a^{2} - 6a = 0$
$2x^{2} + (a - 12)x - a^{2} + 6a = 0$. (1)
Случай $x < 0$ ($|x|=-x$):
$-2x^{2} + (3-a)x - 9x + a^{2} - 6a = 0$
$2x^{2} + (a + 6)x - a^{2} + 6a = 0$. (2)
(1) $2x^{2} + (a - 12)x - a^{2} + 6a = 0$ для $x \ge 0$,
(2) $2x^{2} + (a + 6)x - a^{2} + 6a = 0$ для $x < 0$.
Случай $x \ge 0$ ($|x|=x$):
$-2x^{2} + (3-a)x + 9x + a^{2} - 6a = 0$
$2x^{2} + (a - 12)x - a^{2} + 6a = 0$. (1)
Случай $x < 0$ ($|x|=-x$):
$-2x^{2} + (3-a)x - 9x + a^{2} - 6a = 0$
$2x^{2} + (a + 6)x - a^{2} + 6a = 0$. (2)
Результат:
два квадратных уравнения:
(1) $2x^{2} + (a - 12)x - a^{2} + 6a = 0$ для $x \ge 0$,
(2) $2x^{2} + (a + 6)x - a^{2} + 6a = 0$ для $x < 0$.
Шаг 3
Найдём дискриминанты.
$D_{1} = (a - 12)^{2} + 8a^{2} - 48a = 9a^{2} - 72a + 144 = 9(a - 4)^{2}$.
$D_{2} = (a + 6)^{2} + 8a^{2} - 48a = 9a^{2} - 36a + 36 = 9(a - 2)^{2}$.
$D_{1} = (a - 12)^{2} + 8a^{2} - 48a = 9a^{2} - 72a + 144 = 9(a - 4)^{2}$.
$D_{2} = (a + 6)^{2} + 8a^{2} - 48a = 9a^{2} - 36a + 36 = 9(a - 2)^{2}$.
Результат:
$D_{1} = 9(a - 4)^{2}$, $D_{2} = 9(a - 2)^{2}$.
Шаг 4
Условие различных корней для каждого уравнения: $D_{1} > 0$ и $D_{2} > 0$.
Отсюда $a \ne 4$ и $a \ne 2$.
Отсюда $a \ne 4$ и $a \ne 2$.
Шаг 5
Корни уравнений.
(1) $x_{1,2} = \frac{12 - a \pm 3|a - 4|}{4}$.
(2) $x_{3,4} = \frac{-a - 6 \pm 3|a - 2|}{4}$.
(1) $x_{1,2} = \frac{12 - a \pm 3|a - 4|}{4}$.
(2) $x_{3,4} = \frac{-a - 6 \pm 3|a - 2|}{4}$.
Шаг 6
Условия на расположение корней.
Для (1): оба корня $\ge 0$ и различны.
Для (2): оба корня $< 0$ и различны.
Для (1): оба корня $\ge 0$ и различны.
Для (2): оба корня $< 0$ и различны.
Шаг 7
Анализ знаков корней.
Уравнение (1):
Если $a \ge 4$: корни $x = \frac{a}{2}$ и $x = 6 - a$.
Оба $\ge 0$ при $6 - a \ge 0$, т.е. $a \le 6$. Учитывая $a \ne 4$, получаем $4 < a \le 6$.
Если $a < 4$: корни $x = 6 - a$ и $x = \frac{a}{2}$.
Оба $\ge 0$ при $\frac{a}{2} \ge 0$, т.е. $a \ge 0$. Учитывая $a \ne 2$, получаем $0 \le a < 4$, $a \ne 2$.
Уравнение (2):
Если $a \ge 2$: корни $x = \frac{a}{2} - 3$ и $x = -a$.
Оба $< 0$ при $\frac{a}{2} - 3 < 0$, т.е. $a < 6$. Учитывая $a \ne 2$, получаем $2 < a < 6$.
Если $a < 2$: корни $x = -a$ и $x = \frac{a}{2} - 3$.
Оба $< 0$ при $-a < 0$, т.е. $a > 0$. Получаем $0 < a < 2$.
Уравнение (1):
Если $a \ge 4$: корни $x = \frac{a}{2}$ и $x = 6 - a$.
Оба $\ge 0$ при $6 - a \ge 0$, т.е. $a \le 6$. Учитывая $a \ne 4$, получаем $4 < a \le 6$.
Если $a < 4$: корни $x = 6 - a$ и $x = \frac{a}{2}$.
Оба $\ge 0$ при $\frac{a}{2} \ge 0$, т.е. $a \ge 0$. Учитывая $a \ne 2$, получаем $0 \le a < 4$, $a \ne 2$.
Уравнение (2):
Если $a \ge 2$: корни $x = \frac{a}{2} - 3$ и $x = -a$.
Оба $< 0$ при $\frac{a}{2} - 3 < 0$, т.е. $a < 6$. Учитывая $a \ne 2$, получаем $2 < a < 6$.
Если $a < 2$: корни $x = -a$ и $x = \frac{a}{2} - 3$.
Оба $< 0$ при $-a < 0$, т.е. $a > 0$. Получаем $0 < a < 2$.
Шаг 8
Объединение условий.
Из (1) и (2) получаем три интервала:
1) $0 < a < 2$,
2) $2 < a < 4$,
3) $4 < a < 6$ (так как $a=6$ даёт только три корня, см. проверку).
Из (1) и (2) получаем три интервала:
1) $0 < a < 2$,
2) $2 < a < 4$,
3) $4 < a < 6$ (так как $a=6$ даёт только три корня, см. проверку).
Шаг 9
Проверка граничных точек.
$a=0$: корни $0, 6, -3$ — три различных.
$a=2$: $D_{2}=0$ — не подходит.
$a=4$: $D_{1}=0$ — не подходит.
$a=6$: корни $0, 3, -6$ — три различных.
Все граничные точки не дают четырёх различных корней.
$a=0$: корни $0, 6, -3$ — три различных.
$a=2$: $D_{2}=0$ — не подходит.
$a=4$: $D_{1}=0$ — не подходит.
$a=6$: корни $0, 3, -6$ — три различных.
Все граничные точки не дают четырёх различных корней.
Шаг 10
Убедимся, что внутри интервалов все четыре корня различны.
При $0 < a < 2$: корни (1) положительны, (2) отрицательны — пересечений нет.
При $2 < a < 4$ и $4 < a < 6$ аналогично: положительные корни из (1) и отрицательные из (2) не могут совпадать. Конкретные проверки равенств (например, $6-a = -a$ и т.п.) показывают, что равенство возможно только при $a=0$ или $a=6$, что вне интервалов.
При $0 < a < 2$: корни (1) положительны, (2) отрицательны — пересечений нет.
При $2 < a < 4$ и $4 < a < 6$ аналогично: положительные корни из (1) и отрицательные из (2) не могут совпадать. Конкретные проверки равенств (например, $6-a = -a$ и т.п.) показывают, что равенство возможно только при $a=0$ или $a=6$, что вне интервалов.
Окончательный ответ:
$(0, 2) \cup (2, 4) \cup (4, 6)$