🔍 Решение
Шаг 1
Разобьем уравнение
по модулю:
Случай 2: $x^2+a^2-6x+4a=-2x+2a$
Результат:
Случай 1: $x^2+a^2-6x+4a=2x-2a$
Шаг 2
Приведем к стандартной
квадратной форме:
К2: $x^2-4x+(a^2+2a)=0$
Результат:
К1: $x^2-8x+(a^2+6a)=0$
Шаг 3
Найдем
дискриминанты.
реальны при $a\in[-8,2]$.
Δ₂=$16-4(a^2+2a)$,
реальны при $a\in[-1-\sqrt{5},-1+\sqrt{5}]$.
Результат:
Δ₁=$64-4(a^2+6a)$,
Шаг 4
Чтобы корней было
ровно два,
с 2 корнями, а ветвь К2
без решений.
Это возможно, если
Δ₂<0, т.е. $a^2+2a-4>0$.
Результат:
нужна ветвь К1
Шаг 5
Решая неравенство
$a^2+2a-4>0$,
$a< -1-\sqrt{5}$ или
$a> -1+\sqrt{5}$.
С учетом К1:
$a\in(-8,2)$.
Результат:
получаем
Шаг 6
Объединим условия:
Результат:
$a\in(-8,-1-\sqrt{5})\cup(-1+\sqrt{5},2)$.
Окончательный ответ:
$(-8, -1-\sqrt{5}) \cup (-1+\sqrt{5}, 2)$