Шаг 1
Упростим уравнение.
Дано: $\cos 2x - \sqrt{2} \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) - 1 = 0$.
По формуле приведения: $\cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin x$.
Получаем: $\cos 2x - \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$.
Дано: $\cos 2x - \sqrt{2} \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) - 1 = 0$.
По формуле приведения: $\cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin x$.
Получаем: $\cos 2x - \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$.
Шаг 2
Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$.
Подставляем: $1 - 2\sin^{2} x - \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$.
Упрощаем: $-2\sin^{2} x - \sqrt{2} \sin x = 0$.
Умножаем на $-1$: $2\sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x = 0$.
Подставляем: $1 - 2\sin^{2} x - \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$.
Упрощаем: $-2\sin^{2} x - \sqrt{2} \sin x = 0$.
Умножаем на $-1$: $2\sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x = 0$.
Шаг 3
Решаем уравнение.
Выносим $\sin x$: $\sin x \left( 2\sin x + \sqrt{2} \right) = 0$.
Получаем две возможности:
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эту серию удобно записать как две:
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Выносим $\sin x$: $\sin x \left( 2\sin x + \sqrt{2} \right) = 0$.
Получаем две возможности:
1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эту серию удобно записать как две:
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Шаг 4
Отбираем корни на отрезке $\left[ \frac{3\pi}{2}, 3\pi \right]$.
Для $x = \pi n$: подходят $n=2$ ($x=2\pi$) и $n=3$ ($x=3\pi$).
Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$: неравенство $\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \le 3\pi$ даёт $m=1$, тогда $x = \frac{7\pi}{4}$.
Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$: проверка показывает, что целых $m$, удовлетворяющих отрезку, нет.
Для $x = \pi n$: подходят $n=2$ ($x=2\pi$) и $n=3$ ($x=3\pi$).
Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$: неравенство $\frac{3\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \le 3\pi$ даёт $m=1$, тогда $x = \frac{7\pi}{4}$.
Для $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi m$: проверка показывает, что целых $m$, удовлетворяющих отрезку, нет.
Окончательный ответ: