Задание D8F572

Введем систему координат. Пусть $A=(0,0,0)$, $B=(5,0,0)$, $C=(5,3,0)$, $D=(0,3,0)$, $A_1=(0,0,4)$, $B_1=(5,0,4)$, $C_1=(5,3,4)$, $D_1=(0,3,4)$.

Найдем середину $M$ диагонали $AC_1$, где $A=(0,0,0)$, $C_1=(5,3,4)$. Тогда $M = \left( \frac{0+5}{2}, \frac{0+3}{2}, \frac{0+4}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2}, 2 \right)$.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна вектору $\overrightarrow{AC_1} = (5,3,4)$ и проходит через $M$. Её уравнение: $5\left(x-\frac{5}{2}\right) + 3\left(y-\frac{3}{2}\right) + 4(z-2) = 0$. После упрощения: $5x + 3y + 4z = 25$.

Докажем, что $D_1 \in \alpha$. Подставим координаты $D_1=(0,3,4)$: $5\cdot0 + 3\cdot3 + 4\cdot4 = 0+9+16=25$. Равенство верно, значит, точка $D_1$ лежит в плоскости $\alpha$.

Найдем точку $P$ пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $A_1B_1$. Точки $A_1=(0,0,4)$, $B_1=(5,0,4)$, поэтому любая точка на $A_1B_1$ имеет координаты $(x,0,4)$. Подставим в уравнение плоскости: $5x + 3\cdot0 + 4\cdot4 = 25 \Rightarrow 5x + 16 = 25 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5}$. Значит, $P=\left( \frac{9}{5}, 0, 4 \right)$.

На отрезке $A_1B_1$: $A_1P = \frac{9}{5}$, $PB_1 = 5 - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$. Искомое отношение $A_1P : PB_1 = \frac{9}{5} : \frac{16}{5} = 9:16$.