Шаг 1
Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $27^x = 3^{3x}$, $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$, $3^{5-x} = \frac{243}{3^x}$.
Результат:
$3^{3x} - 28 \cdot 3 \cdot 3^x + \frac{243}{3^x} = 0$, то есть $3^{3x} - 84 \cdot 3^x + \frac{243}{3^x} = 0$.
Шаг 2
Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.
Результат:
Уравнение принимает вид $t^3 - 84t + \frac{243}{t} = 0$.
Шаг 3
Умножим обе части на $t$ (при $t>0$).
Результат:
$t^4 - 84t^2 + 243 = 0$.
Шаг 4
Сделаем замену $u = t^2$, $u > 0$.
Результат:
Квадратное уравнение $u^2 - 84u + 243 = 0$.
Шаг 5
Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $\Delta = 84^2 - 4 \cdot 243 = 6084 = 78^2$.
Результат:
Корни $u = \frac{84 \pm 78}{2}$, то есть $u_1 = 81$, $u_2 = 3$.
Шаг 6
Вернемся к $t$: $t^2 = u$, поэтому $t = \sqrt{u}$.
Результат:
$t_1 = 9$, $t_2 = \sqrt{3}$.
Шаг 7
Вернемся к $x$: $3^x = t$.
Результат:
$3^x = 9 \Rightarrow x = 2$; $3^x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
Шаг 8
Найдем корни на отрезке $\left[ \sqrt{3}; \log_2 5 \right]$. Приближенно: $\sqrt{3} \approx 1.73$, $\log_2 5 \approx 2.32$.
Результат:
$x = \frac{1}{2} = 0.5$ не входит, $x = 2$ входит.
Окончательный ответ:
а) $x = 2$, $x = \frac{1}{2}$; б) $x = 2$.