Шаг 1
Введем замену $t = x + \frac{4}{x}$. Уравнение принимает вид $a t^2 + 2t - 25a + 10 = 0$.
Результат:
квадратное уравнение относительно $t$.
Шаг 2
Исследуем $t(x) = x + \frac{4}{x}$ при $x \neq 0$.
Производная $t'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$. Критические точки $x = \pm 2$.
Значения: $t(2) = 4$, $t(-2) = -4$.
Пределы: при $x \to 0^-$ $t \to -\infty$, при $x \to 0^+$ $t \to +\infty$, при $x \to \pm\infty$ $t \to \pm\infty$.
Множество значений $t$: $t \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.
Производная $t'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$. Критические точки $x = \pm 2$.
Значения: $t(2) = 4$, $t(-2) = -4$.
Пределы: при $x \to 0^-$ $t \to -\infty$, при $x \to 0^+$ $t \to +\infty$, при $x \to \pm\infty$ $t \to \pm\infty$.
Множество значений $t$: $t \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.
Результат:
допустимые $t$ удовлетворяют $t \leq -4$ или $t \geq 4$.
Шаг 3
Исходное уравнение имеет ровно два различных корня $x$, если квадратное уравнение имеет ровно один корень $t$ из допустимого множества, причем этому $t$ соответствуют ровно два различных $x$.
Уравнение $x + \frac{4}{x} = t$ имеет дискриминант $D_x = t^2 - 16$.
Если $|t| > 4$, то два различных $x$; если $|t| = 4$, то один $x$; если $|t| < 4$, то нет корней.
Уравнение $x + \frac{4}{x} = t$ имеет дискриминант $D_x = t^2 - 16$.
Если $|t| > 4$, то два различных $x$; если $|t| = 4$, то один $x$; если $|t| < 4$, то нет корней.
Шаг 4
Решаем квадратное уравнение $a t^2 + 2t - 25a + 10 = 0$.
Дискриминант $D = 4 - 4a(-25a + 10) = 100a^2 - 40a + 4 = (10a - 2)^2$.
При $a = 0$ уравнение линейное: $2t + 10 = 0 \Rightarrow t = -5$. Этот $t$ допустим и дает два корня $x$: $x^2 + 5x + 4 = 0$ с корнями $-1$ и $-4$. Значит $a = 0$ подходит.
При $a \neq 0$ корни:
$t_1 = \frac{-2 + (10a - 2)}{2a} = 5 - \frac{2}{a}$,
$t_2 = \frac{-2 - (10a - 2)}{2a} = -5$.
Дискриминант $D = 4 - 4a(-25a + 10) = 100a^2 - 40a + 4 = (10a - 2)^2$.
При $a = 0$ уравнение линейное: $2t + 10 = 0 \Rightarrow t = -5$. Этот $t$ допустим и дает два корня $x$: $x^2 + 5x + 4 = 0$ с корнями $-1$ и $-4$. Значит $a = 0$ подходит.
При $a \neq 0$ корни:
$t_1 = \frac{-2 + (10a - 2)}{2a} = 5 - \frac{2}{a}$,
$t_2 = \frac{-2 - (10a - 2)}{2a} = -5$.
Шаг 5
$t_2 = -5$ всегда лежит в $(-\infty, -4]$, поэтому всегда дает два корня $x$, если является корнем.
Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня $x$, возможны случаи:
1. Квадратное уравнение имеет один корень $t$ (кратности 2), который допустим. Это происходит при $D = 0$, т.е. $a = 0.2$. Тогда $t = -5$, что дает два корня $x$. Значит $a = 0.2$ подходит.
2. Квадратное уравнение имеет два корня $t_1 \neq t_2$, причем только $t_2$ допустим, а $t_1$ не дает корней $x$, т.е. $|t_1| < 4$.
Условие $|t_1| < 4$: $-4 < 5 - \frac{2}{a} < 4$.
Решаем систему:
$-4 < 5 - \frac{2}{a}$ и $5 - \frac{2}{a} < 4$.
Первое неравенство: $5 - \frac{2}{a} > -4 \Rightarrow -\frac{2}{a} > -9 \Rightarrow \frac{2}{a} < 9$.
При $a > 0$: $2 < 9a \Rightarrow a > \frac{2}{9}$.
При $a < 0$: $2 > 9a$ верно всегда, но проверим второе.
Второе неравенство: $5 - \frac{2}{a} < 4 \Rightarrow -\frac{2}{a} < -1 \Rightarrow \frac{2}{a} > 1$.
При $a > 0$: $2 > a \Rightarrow a < 2$.
При $a < 0$: $2 < a$ неверно для $a < 0$.
Таким образом, система выполняется только при $a > 0$ и $\frac{2}{9} < a < 2$.
На границах $a = \frac{2}{9}$ и $a = 2$ имеем $|t_1| = 4$, что дает один корень $x$ от $t_1$ и два корня от $t_2$, итого три различных корня $x$ — не подходит.
Следовательно, $a \in \left( \frac{2}{9}, 2 \right)$.
3. Случай, когда оба корня $t_1$ и $t_2$ допустимы и различны, приводит к четырем корням $x$ (по два на каждый $t$), что не подходит. Случай $|t_1| = 4$ уже рассмотрен и не подходит.
Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня $x$, возможны случаи:
1. Квадратное уравнение имеет один корень $t$ (кратности 2), который допустим. Это происходит при $D = 0$, т.е. $a = 0.2$. Тогда $t = -5$, что дает два корня $x$. Значит $a = 0.2$ подходит.
2. Квадратное уравнение имеет два корня $t_1 \neq t_2$, причем только $t_2$ допустим, а $t_1$ не дает корней $x$, т.е. $|t_1| < 4$.
Условие $|t_1| < 4$: $-4 < 5 - \frac{2}{a} < 4$.
Решаем систему:
$-4 < 5 - \frac{2}{a}$ и $5 - \frac{2}{a} < 4$.
Первое неравенство: $5 - \frac{2}{a} > -4 \Rightarrow -\frac{2}{a} > -9 \Rightarrow \frac{2}{a} < 9$.
При $a > 0$: $2 < 9a \Rightarrow a > \frac{2}{9}$.
При $a < 0$: $2 > 9a$ верно всегда, но проверим второе.
Второе неравенство: $5 - \frac{2}{a} < 4 \Rightarrow -\frac{2}{a} < -1 \Rightarrow \frac{2}{a} > 1$.
При $a > 0$: $2 > a \Rightarrow a < 2$.
При $a < 0$: $2 < a$ неверно для $a < 0$.
Таким образом, система выполняется только при $a > 0$ и $\frac{2}{9} < a < 2$.
На границах $a = \frac{2}{9}$ и $a = 2$ имеем $|t_1| = 4$, что дает один корень $x$ от $t_1$ и два корня от $t_2$, итого три различных корня $x$ — не подходит.
Следовательно, $a \in \left( \frac{2}{9}, 2 \right)$.
3. Случай, когда оба корня $t_1$ и $t_2$ допустимы и различны, приводит к четырем корням $x$ (по два на каждый $t$), что не подходит. Случай $|t_1| = 4$ уже рассмотрен и не подходит.
Шаг 6
Объединяем все подходящие значения $a$:
$a = 0$, $a = 0.2$, $a \in \left( \frac{2}{9}, 2 \right)$.
Поскольку $0.2 = \frac{1}{5}$ и $\frac{2}{9} \approx 0.222...$, точка $0.2$ не входит в интервал.
$a = 0$, $a = 0.2$, $a \in \left( \frac{2}{9}, 2 \right)$.
Поскольку $0.2 = \frac{1}{5}$ и $\frac{2}{9} \approx 0.222...$, точка $0.2$ не входит в интервал.
Окончательный ответ:
$\{0\} \cup \left( \frac{2}{9}, 2 \right) \cup \{0.2\}$.