Шаг 1
Введём координаты. Пусть $B(0,0)$, $C(b,0)$, $A(0,h)$, $D(d,h)$. Тогда $E$ — середина $CD$: $E\left(\frac{b+d}{2},\frac{h}{2}\right)$. Точка $K$ лежит на $AB$, её координаты $(0,k)$. Из условия $CK \parallel AE$ их угловые коэффициенты равны: $\frac{k}{-b} = \frac{h/2}{(b+d)/2 - 0}$. Отсюда $k = \frac{bh}{b+d}$, то есть $K\left(0,\frac{bh}{b+d}\right)$.
Найдём точку $O$ пересечения $CK$ и $BE$. Уравнение $CK$: $y = -\frac{h}{b+d}(x-b)$. Уравнение $BE$: $y = \frac{h/2}{(b+d)/2}x = \frac{h}{b+d}x$. Приравнивая, получаем $-\frac{h}{b+d}(x-b) = \frac{h}{b+d}x$, откуда $x = \frac{b}{2}$. Тогда $y = \frac{h}{b+d} \cdot \frac{b}{2} = \frac{bh}{2(b+d)}$. Итак, $O\left(\frac{b}{2},\frac{bh}{2(b+d)}\right)$.
Вычислим расстояния: $CO = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-b\right)^2 + \left(\frac{bh}{2(b+d)}-0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{b^2 h^2}{4(b+d)^2}}$. $KO = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{bh}{2(b+d)}-\frac{bh}{b+d}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{b^2 h^2}{4(b+d)^2}}$. Следовательно, $CO = KO$.
Найдём точку $O$ пересечения $CK$ и $BE$. Уравнение $CK$: $y = -\frac{h}{b+d}(x-b)$. Уравнение $BE$: $y = \frac{h/2}{(b+d)/2}x = \frac{h}{b+d}x$. Приравнивая, получаем $-\frac{h}{b+d}(x-b) = \frac{h}{b+d}x$, откуда $x = \frac{b}{2}$. Тогда $y = \frac{h}{b+d} \cdot \frac{b}{2} = \frac{bh}{2(b+d)}$. Итак, $O\left(\frac{b}{2},\frac{bh}{2(b+d)}\right)$.
Вычислим расстояния: $CO = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-b\right)^2 + \left(\frac{bh}{2(b+d)}-0\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{b^2 h^2}{4(b+d)^2}}$. $KO = \sqrt{\left(\frac{b}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{bh}{2(b+d)}-\frac{bh}{b+d}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{b^2 h^2}{4(b+d)^2}}$. Следовательно, $CO = KO$.
Результат:
$CO = KO$.
Шаг 2
Площадь трапеции: $S_{ABCD} = \frac{(BC+AD) \cdot h}{2} = \frac{(b+d)h}{2}$.
Площадь треугольника $BCK$: $S_{\triangle BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (\text{расстояние от }K\text{ до }BC) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{bh}{b+d} = \frac{b^2 h}{2(b+d)}$.
По условию $\frac{S_{\triangle BCK}}{S_{ABCD}} = \frac{9}{100}$. Подставляем:
$\frac{\frac{b^2 h}{2(b+d)}}{\frac{(b+d)h}{2}} = \frac{9}{100}$.
Сокращая, получаем $\frac{b^2}{(b+d)^2} = \frac{9}{100}$, откуда $\frac{b}{b+d} = \frac{3}{10}$ (отношение положительно). Тогда $10b = 3b + 3d \Rightarrow 7b = 3d$. Искомое отношение оснований $BC:AD = b:d = 3:7$.
Площадь треугольника $BCK$: $S_{\triangle BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (\text{расстояние от }K\text{ до }BC) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{bh}{b+d} = \frac{b^2 h}{2(b+d)}$.
По условию $\frac{S_{\triangle BCK}}{S_{ABCD}} = \frac{9}{100}$. Подставляем:
$\frac{\frac{b^2 h}{2(b+d)}}{\frac{(b+d)h}{2}} = \frac{9}{100}$.
Сокращая, получаем $\frac{b^2}{(b+d)^2} = \frac{9}{100}$, откуда $\frac{b}{b+d} = \frac{3}{10}$ (отношение положительно). Тогда $10b = 3b + 3d \Rightarrow 7b = 3d$. Искомое отношение оснований $BC:AD = b:d = 3:7$.
Результат:
$3:7$.
Окончательный ответ:
$3:7$