Шаг 1
Введём систему координат.
Основание пирамиды — квадрат со стороной $3\sqrt{2}$ (так как все рёбра равны 6, то диагональ квадрата $AC = 6$, значит сторона $AB = 3\sqrt{2}$). Для удобства возьмём вершины: $A(-3,-3,0)$, $B(3,-3,0)$, $C(3,3,0)$, $D(-3,3,0)$. Высота $SO$ находится из условия $SA=6$, где $O(0,0,0)$. Тогда $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{36 - 18} = 3\sqrt{2}$. Вершина $S(0,0,3\sqrt{2})$.
$M$ — середина $SA$: $M = \left( -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$.
$N$ делит $SB$ в отношении $SN:NB=1:2$, поэтому $N = S + \frac{1}{3}(B-S) = \left( 1, -1, 2\sqrt{2} \right)$.
Основание пирамиды — квадрат со стороной $3\sqrt{2}$ (так как все рёбра равны 6, то диагональ квадрата $AC = 6$, значит сторона $AB = 3\sqrt{2}$). Для удобства возьмём вершины: $A(-3,-3,0)$, $B(3,-3,0)$, $C(3,3,0)$, $D(-3,3,0)$. Высота $SO$ находится из условия $SA=6$, где $O(0,0,0)$. Тогда $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{36 - 18} = 3\sqrt{2}$. Вершина $S(0,0,3\sqrt{2})$.
$M$ — середина $SA$: $M = \left( -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$.
$N$ делит $SB$ в отношении $SN:NB=1:2$, поэтому $N = S + \frac{1}{3}(B-S) = \left( 1, -1, 2\sqrt{2} \right)$.
Шаг 2
Докажем, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
Найдём векторы в плоскости: $\vec{CM} = M - C = \left( -\frac{9}{2}, -\frac{9}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$, $\vec{CN} = N - C = \left( -2, -4, 2\sqrt{2} \right)$.
Вектор нормали к плоскости: $\vec{n} = \vec{CM} \times \vec{CN}$.
Вычислим: $\vec{n} = \left( -\frac{9}{2} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot (-4), \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot (-2) - (-\frac{9}{2}) \cdot 2\sqrt{2}, -\frac{9}{2} \cdot (-4) - (-\frac{9}{2}) \cdot (-2) \right)$.
Упрощаем: $\vec{n} = \left( -9\sqrt{2} + 6\sqrt{2}, -3\sqrt{2} + 9\sqrt{2}, 18 - 9 \right) = \left( -3\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 9 \right)$.
Вектор $\vec{SD} = D - S = (-3, 3, -3\sqrt{2})$.
Проверим ортогональность: $\vec{n} \cdot \vec{SD} = (-3\sqrt{2})(-3) + (6\sqrt{2})(3) + 9(-3\sqrt{2}) = 9\sqrt{2} + 18\sqrt{2} - 27\sqrt{2} = 0$.
Так как $\vec{SD}$ ортогонален нормали плоскости $CMN$, то прямая $SD$ параллельна этой плоскости.
Найдём векторы в плоскости: $\vec{CM} = M - C = \left( -\frac{9}{2}, -\frac{9}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)$, $\vec{CN} = N - C = \left( -2, -4, 2\sqrt{2} \right)$.
Вектор нормали к плоскости: $\vec{n} = \vec{CM} \times \vec{CN}$.
Вычислим: $\vec{n} = \left( -\frac{9}{2} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot (-4), \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot (-2) - (-\frac{9}{2}) \cdot 2\sqrt{2}, -\frac{9}{2} \cdot (-4) - (-\frac{9}{2}) \cdot (-2) \right)$.
Упрощаем: $\vec{n} = \left( -9\sqrt{2} + 6\sqrt{2}, -3\sqrt{2} + 9\sqrt{2}, 18 - 9 \right) = \left( -3\sqrt{2}, 6\sqrt{2}, 9 \right)$.
Вектор $\vec{SD} = D - S = (-3, 3, -3\sqrt{2})$.
Проверим ортогональность: $\vec{n} \cdot \vec{SD} = (-3\sqrt{2})(-3) + (6\sqrt{2})(3) + 9(-3\sqrt{2}) = 9\sqrt{2} + 18\sqrt{2} - 27\sqrt{2} = 0$.
Так как $\vec{SD}$ ортогонален нормали плоскости $CMN$, то прямая $SD$ параллельна этой плоскости.
Шаг 3
Найдём площадь треугольника $CMN$.
Площадь равна половине модуля векторного произведения: $S = \frac{1}{2} |\vec{CM} \times \vec{CN}| = \frac{1}{2} |\vec{n}|$.
Вычислим: $|\vec{n}| = \sqrt{(-3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 + 9^2} = \sqrt{18 + 72 + 81} = \sqrt{171} = 3\sqrt{19}$.
Тогда $S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{19} = \frac{3\sqrt{19}}{2}$.
Площадь равна половине модуля векторного произведения: $S = \frac{1}{2} |\vec{CM} \times \vec{CN}| = \frac{1}{2} |\vec{n}|$.
Вычислим: $|\vec{n}| = \sqrt{(-3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 + 9^2} = \sqrt{18 + 72 + 81} = \sqrt{171} = 3\sqrt{19}$.
Тогда $S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{19} = \frac{3\sqrt{19}}{2}$.
Окончательный ответ:
$\frac{3\sqrt{19}}{2}$