🔍 Решение
Шаг 1
Пусть $R$ — радиус шара. Конус вписан в шар, и радиус основания конуса равен радиусу шара $R$.
Результат:
Радиус шара: $R$
Шаг 2
Радиус основания конуса равен $R$. Для конуса, вписанного в шар, связь между радиусом шара $R$, радиусом основания конуса $r$ и высотой конуса $h$ определяется по теореме Пифагора: $r^2 = h(2R - h)$. При $r = R$ получаем: $R^2 = h(2R - h) = 2Rh - h^2$.
Результат:
$R^2 = 2Rh - h^2$
Шаг 3
Решаем квадратное уравнение $h^2 - 2Rh + R^2 = 0$. Это $(h - R)^2 = 0$, откуда $h = R$. Высота конуса равна радиусу шара.
Результат:
Высота конуса: $h = R$
Шаг 4
Объём конуса вычисляется по формуле $V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Подставляем $r = R$ и $h = R$: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{1}{3}\pi R^3$. По условию объём конуса равен 12.
Результат:
$\frac{1}{3}\pi R^3 = 12$
Шаг 5
Решаем уравнение: $\frac{1}{3}\pi R^3 = 12$. Умножаем обе части на 3: $\pi R^3 = 36$.
Результат:
$\pi R^3 = 36$
Шаг 6
Объём шара вычисляется по формуле $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставляем $\pi R^3 = 36$: $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \cdot 36 = 4 \cdot 12 = 48$.
Результат:
Объём шара: 48
Окончательный ответ:
48