Шаг 1
Уравнение имеет вид $A^{2} = B^{2}$, где $A = 2x + a + 1 + \tan x$ и $B = 2x + a - 1 - \tan x$. Это равносильно $A = B$ или $A = -B$.
Шаг 2
Случай $A = B$:
$2x + a + 1 + \tan x = 2x + a - 1 - \tan x$
$1 + \tan x = -1 - \tan x$
$2\tan x = -2$
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ это $x_{1} = -\frac{\pi}{4}$ (единственное).
$2x + a + 1 + \tan x = 2x + a - 1 - \tan x$
$1 + \tan x = -1 - \tan x$
$2\tan x = -2$
$\tan x = -1$
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ это $x_{1} = -\frac{\pi}{4}$ (единственное).
Шаг 3
Случай $A = -B$:
$2x + a + 1 + \tan x = -2x - a + 1 + \tan x$
$2x + a + 1 = -2x - a + 1$
$4x + 2a = 0$
$x = -\frac{a}{2}$.
Обозначим $x_{2} = -\frac{a}{2}$.
$2x + a + 1 + \tan x = -2x - a + 1 + \tan x$
$2x + a + 1 = -2x - a + 1$
$4x + 2a = 0$
$x = -\frac{a}{2}$.
Обозначим $x_{2} = -\frac{a}{2}$.
Шаг 4
Уравнение содержит $\tan x$, поэтому $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$. Концы отрезка $x = \pm \frac{\pi}{2}$ не входят в ОДЗ и не являются решениями. Возможные решения: $x_{1} = -\frac{\pi}{4}$ (всегда лежит в $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$) и $x_{2} = -\frac{a}{2}$.
Шаг 5
Условие единственности решения:
1) $x_{1} = x_{2}$: $-\frac{\pi}{4} = -\frac{a}{2} \Rightarrow a = \frac{\pi}{2}$.
2) $x_{1} \neq x_{2}$: тогда $x_{2}$ не должно быть допустимым решением на $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Это выполняется, если $x_{2} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ или $x_{2}$ не в ОДЗ ($x_{2} = \pm \frac{\pi}{2}$).
1) $x_{1} = x_{2}$: $-\frac{\pi}{4} = -\frac{a}{2} \Rightarrow a = \frac{\pi}{2}$.
2) $x_{1} \neq x_{2}$: тогда $x_{2}$ не должно быть допустимым решением на $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. Это выполняется, если $x_{2} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ или $x_{2}$ не в ОДЗ ($x_{2} = \pm \frac{\pi}{2}$).
Шаг 6
Анализ $x_{2}$:
- $x_{2} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$: $-\frac{a}{2} \le -\frac{\pi}{2}$ или $-\frac{a}{2} \ge \frac{\pi}{2}$.
Первое: $-\frac{a}{2} \le -\frac{\pi}{2} \Rightarrow a \ge \pi$.
Второе: $-\frac{a}{2} \ge \frac{\pi}{2} \Rightarrow a \le -\pi$.
- $x_{2}$ не в ОДЗ: $x_{2} = \pm \frac{\pi}{2}$.
$x_{2} = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow a = \pi$.
$x_{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow a = -\pi$.
Эти значения уже попадают в $a \le -\pi$ и $a \ge \pi$.
- $x_{2} \notin \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$: $-\frac{a}{2} \le -\frac{\pi}{2}$ или $-\frac{a}{2} \ge \frac{\pi}{2}$.
Первое: $-\frac{a}{2} \le -\frac{\pi}{2} \Rightarrow a \ge \pi$.
Второе: $-\frac{a}{2} \ge \frac{\pi}{2} \Rightarrow a \le -\pi$.
- $x_{2}$ не в ОДЗ: $x_{2} = \pm \frac{\pi}{2}$.
$x_{2} = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow a = \pi$.
$x_{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow a = -\pi$.
Эти значения уже попадают в $a \le -\pi$ и $a \ge \pi$.
Шаг 7
Если $x_{2} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ и $x_{2} \neq x_{1}$, то есть два решения. Это происходит при $-\frac{\pi}{2} < -\frac{a}{2} < \frac{\pi}{2} \Rightarrow -\pi < a < \pi$, и $a \neq \frac{\pi}{2}$.
Шаг 8
Объединяя условия единственности:
- $a = \frac{\pi}{2}$ (решения совпадают).
- $a \ge \pi$ (тогда $x_{2} \le -\frac{\pi}{2}$, при $a=\pi$ нет ОДЗ, при $a>\pi$ вне отрезка).
- $a \le -\pi$ (тогда $x_{2} \ge \frac{\pi}{2}$, при $a=-\pi$ нет ОДЗ, при $a<-\pi$ вне отрезка).
- $a = \frac{\pi}{2}$ (решения совпадают).
- $a \ge \pi$ (тогда $x_{2} \le -\frac{\pi}{2}$, при $a=\pi$ нет ОДЗ, при $a>\pi$ вне отрезка).
- $a \le -\pi$ (тогда $x_{2} \ge \frac{\pi}{2}$, при $a=-\pi$ нет ОДЗ, при $a<-\pi$ вне отрезка).
Окончательный ответ:
$a \in (-\infty, -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi, +\infty)$.