а) Доказательство
Шаг 1: В параллелограмме $AD=BC=10$, $AB=CD=5$, $AD \parallel BC$, $\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.
Шаг 2: Найдём положение $M$. Пусть $BM=x$, тогда $MC=10-x$. В $\triangle ABM$ по теореме косинусов:
$AM^2 = 25 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \cos 120^\circ = 25 + x^2 + 5x$.
Условие $AM=MC$ даёт $AM^2=(10-x)^2$:
$25+x^2+5x = 100 - 20x + x^2 \Rightarrow 25x=75 \Rightarrow x=3$.
Итак, $BM=3$, $MC=7$, $AM=7$.
Шаг 3: В $\triangle DCM$: $DC=5$, $CM=7$, $\angle DCM=\angle BCD=60^\circ$ (противоположные углы параллелограмма равны). По теореме косинусов:
$DM^2 = 25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{1}{2} = 74-35=39$, $DM=\sqrt{39}$.
Шаг 4: Докажем, что $AC$ — биссектриса $\angle MAD$ в $\triangle AMD$.
Так как $AD \parallel BC$, то $\angle CAD = \angle ACB$ (накрест лежащие).
В равнобедренном $\triangle AMC$ ($AM=MC$) имеем $\angle MAC = \angle MCA$.
Но $\angle MCA = \angle ACB$, следовательно $\angle MAC = \angle CAD$.
Значит, $AC$ — биссектриса угла $MAD$. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе, поэтому он принадлежит $AC$.
Шаг 2: Найдём положение $M$. Пусть $BM=x$, тогда $MC=10-x$. В $\triangle ABM$ по теореме косинусов:
$AM^2 = 25 + x^2 - 2 \cdot 5 \cdot x \cdot \cos 120^\circ = 25 + x^2 + 5x$.
Условие $AM=MC$ даёт $AM^2=(10-x)^2$:
$25+x^2+5x = 100 - 20x + x^2 \Rightarrow 25x=75 \Rightarrow x=3$.
Итак, $BM=3$, $MC=7$, $AM=7$.
Шаг 3: В $\triangle DCM$: $DC=5$, $CM=7$, $\angle DCM=\angle BCD=60^\circ$ (противоположные углы параллелограмма равны). По теореме косинусов:
$DM^2 = 25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \frac{1}{2} = 74-35=39$, $DM=\sqrt{39}$.
Шаг 4: Докажем, что $AC$ — биссектриса $\angle MAD$ в $\triangle AMD$.
Так как $AD \parallel BC$, то $\angle CAD = \angle ACB$ (накрест лежащие).
В равнобедренном $\triangle AMC$ ($AM=MC$) имеем $\angle MAC = \angle MCA$.
Но $\angle MCA = \angle ACB$, следовательно $\angle MAC = \angle CAD$.
Значит, $AC$ — биссектриса угла $MAD$. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе, поэтому он принадлежит $AC$.
б) Нахождение радиуса
Шаг 1: Стороны $\triangle AMD$: $AD=10$, $AM=7$, $DM=\sqrt{39}$.
Шаг 2: Полупериметр $p = \frac{10+7+\sqrt{39}}{2} = \frac{17+\sqrt{39}}{2}$.
Шаг 3: Площадь по формуле Герона:
$p-AD = \frac{\sqrt{39}-3}{2}$, $p-AM = \frac{3+\sqrt{39}}{2}$, $p-DM = \frac{17-\sqrt{39}}{2}$.
$S = \sqrt{p(p-AD)(p-AM)(p-DM)}$.
Упростим подкоренное выражение, обозначив $a=\sqrt{39}$:
$(17+a)(a-3) = 14a-12$,
$(3+a)(17-a) = 14a+12$.
Тогда $S = \frac{1}{4}\sqrt{(14a-12)(14a+12)} = \frac{1}{4}\sqrt{196a^2-144}$.
При $a^2=39$: $196\cdot 39 - 144 = 7500$, $\sqrt{7500}=50\sqrt{3}$.
$S = \frac{1}{4} \cdot 50\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$.
Шаг 4: Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{25\sqrt{3}}{2}}{\frac{17+\sqrt{39}}{2}} = \frac{25\sqrt{3}}{17+\sqrt{39}}$.
Умножим числитель и знаменатель на $17-\sqrt{39}$:
$r = \frac{25\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{289-39} = \frac{25\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{250} = \frac{\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{10}$.
Шаг 5: Численное значение: $\sqrt{39}\approx 6.245$, $\sqrt{3}\approx 1.732$, $17-\sqrt{39}\approx 10.755$, $r \approx \frac{1.732 \cdot 10.755}{10} \approx 1.8627 \approx 1.86$.
Шаг 2: Полупериметр $p = \frac{10+7+\sqrt{39}}{2} = \frac{17+\sqrt{39}}{2}$.
Шаг 3: Площадь по формуле Герона:
$p-AD = \frac{\sqrt{39}-3}{2}$, $p-AM = \frac{3+\sqrt{39}}{2}$, $p-DM = \frac{17-\sqrt{39}}{2}$.
$S = \sqrt{p(p-AD)(p-AM)(p-DM)}$.
Упростим подкоренное выражение, обозначив $a=\sqrt{39}$:
$(17+a)(a-3) = 14a-12$,
$(3+a)(17-a) = 14a+12$.
Тогда $S = \frac{1}{4}\sqrt{(14a-12)(14a+12)} = \frac{1}{4}\sqrt{196a^2-144}$.
При $a^2=39$: $196\cdot 39 - 144 = 7500$, $\sqrt{7500}=50\sqrt{3}$.
$S = \frac{1}{4} \cdot 50\sqrt{3} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$.
Шаг 4: Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{25\sqrt{3}}{2}}{\frac{17+\sqrt{39}}{2}} = \frac{25\sqrt{3}}{17+\sqrt{39}}$.
Умножим числитель и знаменатель на $17-\sqrt{39}$:
$r = \frac{25\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{289-39} = \frac{25\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{250} = \frac{\sqrt{3}(17-\sqrt{39})}{10}$.
Шаг 5: Численное значение: $\sqrt{39}\approx 6.245$, $\sqrt{3}\approx 1.732$, $17-\sqrt{39}\approx 10.755$, $r \approx \frac{1.732 \cdot 10.755}{10} \approx 1.8627 \approx 1.86$.
Окончательный ответ:
1.86