Шаг 1
Обозначим через $H_1$ и $H_2$ количество рабочих часов в неделю на первом и втором заводах соответственно.
Результат:
$H_1 \ge 0$, $H_2 \ge 0$.
Шаг 2
Бюджет на оплату труда: $200H_1 + 300H_2 = 1\,200\,000$.
Результат:
Ограничение $200H_1 + 300H_2 = 1\,200\,000$.
Шаг 3
Если рабочие трудятся $t^2$ часов, то производится $t$ единиц товара. Следовательно, объёмы производства: $\sqrt{H_1}$ и $\sqrt{H_2}$.
Результат:
Производство первого завода: $\sqrt{H_1}$, второго: $\sqrt{H_2}$.
Шаг 4
Требуется максимизировать суммарное производство $S = \sqrt{H_1} + \sqrt{H_2}$ при условии $200H_1 + 300H_2 = 1\,200\,000$.
Результат:
Задача на условный экстремум.
Шаг 5
Используем метод множителей Лагранжа. Частные производные:
$\frac{1}{2\sqrt{H_1}} = 200\lambda$, $\frac{1}{2\sqrt{H_2}} = 300\lambda$.
$\frac{1}{2\sqrt{H_1}} = 200\lambda$, $\frac{1}{2\sqrt{H_2}} = 300\lambda$.
Результат:
Система уравнений для оптимальных $H_1$, $H_2$.
Шаг 6
Поделим первое уравнение на второе: $\frac{\sqrt{H_2}}{\sqrt{H_1}} = \frac{200}{300} = \frac{2}{3}$. Отсюда $3\sqrt{H_2} = 2\sqrt{H_1}$.
Результат:
Связь $\sqrt{H_2} = \frac{2}{3}\sqrt{H_1}$.
Шаг 7
Возведём в квадрат: $H_2 = \frac{4}{9}H_1$. Подставим в уравнение бюджета: $200H_1 + 300 \cdot \frac{4}{9}H_1 = 1\,200\,000$.
Результат:
$200H_1 + \frac{400}{3}H_1 = 1\,200\,000$.
Шаг 8
Приведём к общему знаменателю: $\frac{600H_1 + 400H_1}{3} = 1\,200\,000$, то есть $\frac{1000H_1}{3} = 1\,200\,000$.
Результат:
$H_1 = \frac{3 \cdot 1\,200\,000}{1000} = 3600$.
Шаг 9
Тогда $H_2 = \frac{4}{9} \cdot 3600 = 1600$.
Результат:
$H_1 = 3600$, $H_2 = 1600$.
Шаг 10
Вычислим производство: $\sqrt{3600} = 60$, $\sqrt{1600} = 40$.
Результат:
Производство с заводов: 60 и 40 единиц.
Шаг 11
Суммарное производство: $60 + 40 = 100$ единиц.
Результат:
Наибольшее количество товара: 100.
Окончательный ответ:
100