Задание F6BED7

Начальный долг $A_0 = 10$ млн рублей. Пусть кредит взят на $n$ лет. Каждый июль долг уменьшается на постоянную величину $d$, поэтому $A_n = 10 - n d = 0$, откуда $d = \frac{10}{n}$.

Рассмотрим $k$-й год. В январе долг $A_{k-1}$ увеличивается на $10\%$, становясь $1.1 A_{k-1}$. Выплата за год с февраля по июнь должна погасить набежавшие проценты $0.1 A_{k-1}$ и уменьшить долг на $d$, поэтому выплата за $k$-й год равна $P_k = 0.1 A_{k-1} + d$.

Так как долг уменьшается линейно, $A_{k-1} = 10 - (k-1)d = 10 - \frac{10(k-1)}{n}$. Тогда $P_k = 0.1 \left( 10 - \frac{10(k-1)}{n} \right) + \frac{10}{n} = 1 - \frac{k-1}{n} + \frac{10}{n} = 1 + \frac{11 - k}{n}$.

Общая сумма выплат $S = \sum_{k=1}^{n} P_k = \sum_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{11 - k}{n} \right) = n + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (11 - k)$.

Вычислим сумму: $\sum_{k=1}^{n} (11 - k) = 11n - \sum_{k=1}^{n} k = 11n - \frac{n(n+1)}{2}$. Тогда $S = n + \frac{1}{n} \left( 11n - \frac{n(n+1)}{2} \right) = n + 11 - \frac{n+1}{2}$.

Упростим: $S = n + 11 - \frac{n}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n}{2} + 10.5$.

По условию $S = 15$. Получаем уравнение $\frac{n}{2} + 10.5 = 15$, откуда $\frac{n}{2} = 4.5$ и $n = 9$.