Шаг 1
Объединяем логарифмы в один по правилу $\log a + \log b = \log(ab)$.
Результат:
$\log_{11}\left[(2x^2+1)\left(\frac{x}{32}+1\right)\right] \ge \log_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right)$.
Шаг 2
Так как основание $11 > 1$, логарифмическое неравенство эквивалентно неравенству аргументов.
Результат:
$(2x^2+1)\left(\frac{x}{32}+1\right) \ge \frac{x}{16}+1$.
Шаг 3
Умножаем обе части на 32 и упрощаем.
Раскрываем скобки: $2x^3 + 64x^2 + x + 32 \ge 2x + 32$.
Приводим подобные: $2x^3 + 64x^2 - x \ge 0$.
Выносим $x$: $x(2x^2 + 64x - 1) \ge 0$.
Результат:
$(2x^2+1)(x+32) \ge 2x+32$.
Раскрываем скобки: $2x^3 + 64x^2 + x + 32 \ge 2x + 32$.
Приводим подобные: $2x^3 + 64x^2 - x \ge 0$.
Выносим $x$: $x(2x^2 + 64x - 1) \ge 0$.
Шаг 4
Решаем неравенство $x(2x^2 + 64x - 1) \ge 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \frac{-64 \pm \sqrt{4096 + 8}}{4} = \frac{-64 \pm \sqrt{4104}}{4} = \frac{-64 \pm 6\sqrt{114}}{4} = \frac{-32 \pm 3\sqrt{114}}{2}$.
Так как $\frac{-32 - 3\sqrt{114}}{2} < 0 < \frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2}$, решением неравенства является $x \in \left[\frac{-32 - 3\sqrt{114}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2}, \infty\right)$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_{2,3} = \frac{-64 \pm \sqrt{4096 + 8}}{4} = \frac{-64 \pm \sqrt{4104}}{4} = \frac{-64 \pm 6\sqrt{114}}{4} = \frac{-32 \pm 3\sqrt{114}}{2}$.
Так как $\frac{-32 - 3\sqrt{114}}{2} < 0 < \frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2}$, решением неравенства является $x \in \left[\frac{-32 - 3\sqrt{114}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2}, \infty\right)$.
Шаг 5
Учитываем ОДЗ исходного логарифмического неравенства.
Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$2x^2+1 > 0$ (выполнено для всех $x$),
$\frac{x}{32}+1 > 0 \Rightarrow x > -32$,
$\frac{x}{16}+1 > 0 \Rightarrow x > -16$.
Наиболее строгое условие: $x > -16$.
Аргументы логарифмов должны быть положительны:
$2x^2+1 > 0$ (выполнено для всех $x$),
$\frac{x}{32}+1 > 0 \Rightarrow x > -32$,
$\frac{x}{16}+1 > 0 \Rightarrow x > -16$.
Наиболее строгое условие: $x > -16$.
Шаг 6
Находим пересечение решения из Шага 4 с условием $x > -16$.
Так как $\frac{-32 - 3\sqrt{114}}{2} \approx -31.1 < -16$, а $\frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2} \approx 0.1 > -16$, получаем:
$x \in (-16, 0] \cup \left[\frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2}, \infty\right)$.
Так как $\frac{-32 - 3\sqrt{114}}{2} \approx -31.1 < -16$, а $\frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2} \approx 0.1 > -16$, получаем:
$x \in (-16, 0] \cup \left[\frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2}, \infty\right)$.
Окончательный ответ:
$x \in (-16, 0] \cup \left[\frac{-32 + 3\sqrt{114}}{2}, \infty\right)$.