Шаг 1
Используем нечётность синуса: $\sin(-x) = -\sin x$.
Результат:
Уравнение принимает вид $\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0$.
Шаг 2
Заменяем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Результат:
Получаем $1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$.
Шаг 3
Упрощаем: $-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0$. Умножаем на $-1$: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
Шаг 4
Решаем квадратное уравнение относительно $\sin x$.
Результат:
Дискриминант $D = 1$, корни: $\sin x = 1$ или $\sin x = \frac{1}{2}$.
Шаг 5
Находим общие решения.
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Результат:
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
- $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Шаг 6
Отбираем корни на отрезке $\left[3\pi,\ \frac{9\pi}{2}\right]$.
- Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k=2$ получаем $x = \frac{9\pi}{2}$.
- Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=2$ получаем $x = \frac{25\pi}{6}$.
- Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ корней на отрезке нет.
Результат:
- Для $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k=2$ получаем $x = \frac{9\pi}{2}$.
- Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: при $k=2$ получаем $x = \frac{25\pi}{6}$.
- Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ корней на отрезке нет.
Окончательный ответ:
$\frac{25\pi}{6},\ \frac{9\pi}{2}$