Шаг 1
Докажем подобие треугольников.
Угол A — общий. Углы $\angle AB_{1}C_{1}$ и $\angle ABC$ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $B_{1}C$ в данной окружности. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle AB_{1}C_{1}$ по двум углам.
Угол A — общий. Углы $\angle AB_{1}C_{1}$ и $\angle ABC$ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $B_{1}C$ в данной окружности. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle AB_{1}C_{1}$ по двум углам.
Шаг 2
Найдём коэффициент подобия.
Пусть $k = \frac{AB_{1}}{AB} = \frac{AC_{1}}{AC}$. Тогда $B_{1}C_{1} = k \cdot BC$.
Отношение площадей подобных треугольников равно $k^{2}$: $S_{AB_{1}C_{1}} = k^{2} S_{ABC}$.
Пусть $k = \frac{AB_{1}}{AB} = \frac{AC_{1}}{AC}$. Тогда $B_{1}C_{1} = k \cdot BC$.
Отношение площадей подобных треугольников равно $k^{2}$: $S_{AB_{1}C_{1}} = k^{2} S_{ABC}$.
Шаг 3
Используем условие для площадей.
По условию, $S_{AB_{1}C_{1}} = \frac{1}{8} S_{BCB_{1}C_{1}}$. Так как $S_{ABC} = S_{AB_{1}C_{1}} + S_{BCB_{1}C_{1}}$, то $S_{ABC} = S_{AB_{1}C_{1}} + 8S_{AB_{1}C_{1}} = 9S_{AB_{1}C_{1}}$.
Следовательно, $k^{2} = \frac{S_{AB_{1}C_{1}}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9}$, откуда $k = \frac{1}{3}$.
По условию, $S_{AB_{1}C_{1}} = \frac{1}{8} S_{BCB_{1}C_{1}}$. Так как $S_{ABC} = S_{AB_{1}C_{1}} + S_{BCB_{1}C_{1}}$, то $S_{ABC} = S_{AB_{1}C_{1}} + 8S_{AB_{1}C_{1}} = 9S_{AB_{1}C_{1}}$.
Следовательно, $k^{2} = \frac{S_{AB_{1}C_{1}}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9}$, откуда $k = \frac{1}{3}$.
Шаг 4
Вычислим сторону $BC$.
Из равенства $B_{1}C_{1} = k \cdot BC$ при $B_{1}C_{1} = 6$ получаем $BC = \frac{6}{k} = \frac{6}{1/3} = 18$.
Из равенства $B_{1}C_{1} = k \cdot BC$ при $B_{1}C_{1} = 6$ получаем $BC = \frac{6}{k} = \frac{6}{1/3} = 18$.
Шаг 5
Найдём радиус окружности.
Окружность проходит через точки $B$ и $C$, поэтому по теореме синусов для треугольника $ABC$ (или для вписанного угла $A$, опирающегося на хорду $BC$) имеем: $R = \frac{BC}{2\sin A}$.
Подставляем $BC = 18$ и $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$R = \frac{18}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$.
Окружность проходит через точки $B$ и $C$, поэтому по теореме синусов для треугольника $ABC$ (или для вписанного угла $A$, опирающегося на хорду $BC$) имеем: $R = \frac{BC}{2\sin A}$.
Подставляем $BC = 18$ и $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
$R = \frac{18}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$.
Окончательный ответ:
$BC = 18$, $R = 9\sqrt{2}$.