а) Доказательство, что сечение — прямоугольник
Шаг 1: Введём координаты. Поместим основание $ABC$ в плоскость $z=0$:
$A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $C(3,3\sqrt{3},0)$.
Шаг 2: Найдём координаты вершины $D$. Центр основания $O$ — точка пересечения медиан:
$O = \left( \frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+3\sqrt{3}}{3}, 0 \right) = (3, \sqrt{3}, 0)$.
Высота пирамиды $h = \sqrt{AD^{2} - AO^{2}} = \sqrt{5^{2} - (3^{2} + (\sqrt{3})^{2})} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13}$.
Тогда $D = (3, \sqrt{3}, \sqrt{13})$.
Шаг 3: Найдём координаты точки $T$, делящей $AD$ в отношении $AT:TD=2:1$:
$T = \frac{2D + 1A}{3} = \left( \frac{2\cdot3}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right) = \left( 2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$.
Шаг 4: Направляющие векторы плоскости сечения: $\vec{AC} = (3, 3\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{BD} = (-3, \sqrt{3}, \sqrt{13})$. Плоскость проходит через $T$ параллельно этим векторам.
Шаг 5: Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами пирамиды.
- С ребром $AB$: параметрически $A + \lambda (B-A) = (6\lambda, 0, 0)$. Подставляем в уравнение плоскости, получаем точку $P$ на $AB$: $P(4,0,0)$.
- С ребром $BC$: $B + \mu (C-B) = (6-3\mu, 3\sqrt{3}\mu, 0)$. Подставляем, получаем $\mu = \frac{1}{3}$, тогда $Q = (5, \sqrt{3}, 0)$.
- С ребром $CD$: $C + t(D-C) = (3, 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}t, \sqrt{13}t)$. Подставляем, получаем $t = \frac{2}{3}$, тогда $R = \left( 3, \frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$.
- С ребром $AD$: точка $T$ уже известна.
Шаг 6: Проверим, что $PQRT$ — прямоугольник.
$\vec{PQ} = (1, \sqrt{3}, 0)$, $\vec{PT} = \left( -2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$,
$\vec{QR} = \left( -2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right) = \vec{PT}$, $\vec{TR} = (1, \sqrt{3}, 0) = \vec{PQ}$.
Значит, $PQRT$ — параллелограмм.
Проверим перпендикулярность: $\vec{PQ} \cdot \vec{PT} = 1 \cdot (-2) + \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} + 0 = -2 + 2 = 0$.
Следовательно, угол при $P$ прямой, и $PQRT$ — прямоугольник.
$A(0,0,0)$, $B(6,0,0)$, $C(3,3\sqrt{3},0)$.
Шаг 2: Найдём координаты вершины $D$. Центр основания $O$ — точка пересечения медиан:
$O = \left( \frac{0+6+3}{3}, \frac{0+0+3\sqrt{3}}{3}, 0 \right) = (3, \sqrt{3}, 0)$.
Высота пирамиды $h = \sqrt{AD^{2} - AO^{2}} = \sqrt{5^{2} - (3^{2} + (\sqrt{3})^{2})} = \sqrt{25 - 12} = \sqrt{13}$.
Тогда $D = (3, \sqrt{3}, \sqrt{13})$.
Шаг 3: Найдём координаты точки $T$, делящей $AD$ в отношении $AT:TD=2:1$:
$T = \frac{2D + 1A}{3} = \left( \frac{2\cdot3}{3}, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right) = \left( 2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$.
Шаг 4: Направляющие векторы плоскости сечения: $\vec{AC} = (3, 3\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{BD} = (-3, \sqrt{3}, \sqrt{13})$. Плоскость проходит через $T$ параллельно этим векторам.
Шаг 5: Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами пирамиды.
- С ребром $AB$: параметрически $A + \lambda (B-A) = (6\lambda, 0, 0)$. Подставляем в уравнение плоскости, получаем точку $P$ на $AB$: $P(4,0,0)$.
- С ребром $BC$: $B + \mu (C-B) = (6-3\mu, 3\sqrt{3}\mu, 0)$. Подставляем, получаем $\mu = \frac{1}{3}$, тогда $Q = (5, \sqrt{3}, 0)$.
- С ребром $CD$: $C + t(D-C) = (3, 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}t, \sqrt{13}t)$. Подставляем, получаем $t = \frac{2}{3}$, тогда $R = \left( 3, \frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$.
- С ребром $AD$: точка $T$ уже известна.
Результат:
Вершины сечения: $P(4,0,0)$, $Q(5, \sqrt{3}, 0)$, $R\left( 3, \frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$, $T\left( 2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$.
Шаг 6: Проверим, что $PQRT$ — прямоугольник.
$\vec{PQ} = (1, \sqrt{3}, 0)$, $\vec{PT} = \left( -2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)$,
$\vec{QR} = \left( -2, \frac{2\sqrt{3}}{3}, \frac{2\sqrt{13}}{3} \right) = \vec{PT}$, $\vec{TR} = (1, \sqrt{3}, 0) = \vec{PQ}$.
Значит, $PQRT$ — параллелограмм.
Проверим перпендикулярность: $\vec{PQ} \cdot \vec{PT} = 1 \cdot (-2) + \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} + 0 = -2 + 2 = 0$.
Следовательно, угол при $P$ прямой, и $PQRT$ — прямоугольник.
б) Нахождение площади сечения
Шаг 7: Найдём стороны прямоугольника.
$|PQ| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = 2$.
$|PT| = \sqrt{(-2)^{2} + \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)^{2}} = \sqrt{4 + \frac{12}{9} + \frac{52}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}$.
Шаг 8: Площадь прямоугольника: $S = |PQ| \cdot |PT| = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$.
$|PQ| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1+3} = 2$.
$|PT| = \sqrt{(-2)^{2} + \left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2\sqrt{13}}{3} \right)^{2}} = \sqrt{4 + \frac{12}{9} + \frac{52}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9}} = \frac{10}{3}$.
Шаг 8: Площадь прямоугольника: $S = |PQ| \cdot |PT| = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$.
Окончательный ответ:
$\frac{20}{3}$