Шаг 1
Преобразуем уравнение.
Результат:
$2\sqrt{3} \sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) + \sin 2x = 0$
Шаг 2
Упрощаем $\sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = -\cos x$, тогда $\sin^2\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos^2 x$.
Результат:
$2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin 2x = 0$
Шаг 3
Используем формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Результат:
$2\sqrt{3} \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0$
Шаг 4
Выносим общий множитель $2\cos x$.
Результат:
$2\cos x \left( \sqrt{3} \cos x + \sin x \right) = 0$
Шаг 5
Решаем два случая.
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$
2) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0$. Делим на $\cos x \neq 0$: $\tan x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$
1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$
2) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0$. Делим на $\cos x \neq 0$: $\tan x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$
Шаг 6
Находим корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
При $k = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$
При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$
Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$:
При $n = -3$: $x = -\frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{10\pi}{3}$
Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$:
При $k = -4$: $x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$
При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$
Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$:
При $n = -3$: $x = -\frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{10\pi}{3}$
Окончательный ответ:
$-\frac{7\pi}{2}$, $-\frac{10\pi}{3}$, $-\frac{5\pi}{2}$