Шаг 1
Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $9 - x$, а по течению — $9 + x$.
Шаг 2
Время движения против течения: $\frac{72}{9 - x}$ часов. Время движения по течению: $\frac{72}{9 + x}$ часов.
Шаг 3
По условию разность этих времён равна 6 часам. Получаем уравнение:
$\frac{72}{9 - x} - \frac{72}{9 + x} = 6$.
$\frac{72}{9 - x} - \frac{72}{9 + x} = 6$.
Шаг 4
Упростим уравнение. Приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{72(9 + x) - 72(9 - x)}{(9 - x)(9 + x)} = 6$.
Вычислим числитель: $72(9 + x - 9 + x) = 72 \cdot 2x = 144x$.
Знаменатель: $(9 - x)(9 + x) = 81 - x^{2}$.
Получаем: $\frac{144x}{81 - x^{2}} = 6$.
$\frac{72(9 + x) - 72(9 - x)}{(9 - x)(9 + x)} = 6$.
Вычислим числитель: $72(9 + x - 9 + x) = 72 \cdot 2x = 144x$.
Знаменатель: $(9 - x)(9 + x) = 81 - x^{2}$.
Получаем: $\frac{144x}{81 - x^{2}} = 6$.
Шаг 5
Умножим обе части на $81 - x^{2}$ (при условии $x \neq 9$):
$144x = 6(81 - x^{2})$.
Разделим на 6: $24x = 81 - x^{2}$.
Перенесём все слагаемые в одну сторону: $x^{2} + 24x - 81 = 0$.
$144x = 6(81 - x^{2})$.
Разделим на 6: $24x = 81 - x^{2}$.
Перенесём все слагаемые в одну сторону: $x^{2} + 24x - 81 = 0$.
Шаг 6
Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 24^{2} + 4 \cdot 81 = 576 + 324 = 900$.
Корни: $x = \frac{-24 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-24 \pm 30}{2}$.
Получаем $x_{1} = \frac{-24 + 30}{2} = 3$, $x_{2} = \frac{-24 - 30}{2} = -27$.
Корни: $x = \frac{-24 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-24 \pm 30}{2}$.
Получаем $x_{1} = \frac{-24 + 30}{2} = 3$, $x_{2} = \frac{-24 - 30}{2} = -27$.
Шаг 7
По смыслу задачи скорость течения — положительная величина. Поэтому $x = 3$ км/ч.
Окончательный ответ:
3