🔍 Решение
Шаг 1
** Пусть изначально написано $n$ единиц. Между некоторыми из них ставим знаки «+», разбивая строку на $k$ слагаемых. Число из $m$ единиц равно $\frac{10^{m} - 1}{9}$. Сумма всех слагаемых: $S = \frac{10^{a_1} + \dots + 10^{a_k} - k}{9}$, где $a_1 + \dots + a_k = n$, $a_i \ge 1$.
**
---
**
Результат:
** $9S = (10^{a_1} + \dots + 10^{a_k}) - k$.
Шаг 2
** В нашем случае $S = 132$, поэтому $9S = 1188$. Обозначим $T = 10^{a_1} + \dots + 10^{a_k}$. Тогда $T = 1188 + k$.
**
---
**
Результат:
** $T = 1188 + k$, где $k$ — количество слагаемых.
Шаг 3
** Заметим, что $T$ — это число, в десятичной записи которого каждая цифра $d_j$ показывает, сколько слагаемых имеют длину $j$ (т.е. равны $10^{j}$). Тогда:
- Сумма цифр $T$ равна $k$: $d_0 + d_1 + d_2 + \dots = k$.
- $n = 1 \cdot d_1 + 2 \cdot d_2 + 3 \cdot d_3 + \dots$ (поскольку $a_i$ — длины слагаемых, а $d_j$ — их количество).
**
---
**
Результат:
** $k = \text{сумма цифр } T$, $n = \sum_{j \ge 1} j \cdot d_j$.
Шаг 4
(а):** $n = 10$. Тогда $k$ может быть от $1$ до $10$. Для каждого $k$ вычислим $T = 1188 + k$ и найдём сумму его цифр. Если сумма цифр равна $k$, то такое $k$ подходит.
Проверяем $k = 1, 2, \dots, 10$:
- $k=1$: $T=1189$, сумма цифр $1+1+8+9=19 \ne 1$.
- $k=2$: $T=1190$, сумма цифр $11 \ne 2$.
- $k=3$: $T=1191$, сумма цифр $12 \ne 3$.
- $k=4$: $T=1192$, сумма цифр $13 \ne 4$.
- $k=5$: $T=1193$, сумма цифр $14 \ne 5$.
- $k=6$: $T=1194$, сумма цифр $15 \ne 6$.
- $k=7$: $T=1195$, сумма цифр $16 \ne 7$.
- $k=8$: $T=1196$, сумма цифр $17 \ne 8$.
- $k=9$: $T=1197$, сумма цифр $18 \ne 9$.
- $k=10$: $T=1198$, сумма цифр $19 \ne 10$.
**Результат (а):** Невозможно при $n=10$.
---
**
Шаг 5
(б):** $n = 11$. Аналогично проверяем $k$ от $1$ до $11$. Для каждого $k$ сумма цифр $T = 1188 + k$ не равна $k$ (вычисления аналогичны пункту (а), например, $k=11$: $T=1199$, сумма цифр $20$).
**Результат (б):** Невозможно при $n=11$.
---
**
Шаг 6
(в):** Найдём все $n$, для которых существует $T$ такое, что $T = 1188 + \text{сумма цифр } T$. Пусть $T$ имеет десятичную запись $\overline{d_r \dots d_0}$. Тогда:
\[
T - \text{сумма цифр } T = 999\dots d_r + 99\dots d_2 + 9d_1 = 1188.
\]
Делим на $9$:
\[
111\dots d_r + 11\dots d_2 + d_1 = 132.
\]
---
**
Шаг 7
** Рассмотрим возможное количество цифр $T$.
- Если $T$ четырёхзначное: $111d_3 + 11d_2 + d_1 = 132$.
- $d_3 = 1$: $11d_2 + d_1 = 21$. Нет решений в цифрах ($d_2=1$ даёт $d_1=10$, $d_2=0$ даёт $d_1=21$).
- $d_3 = 0$: $11d_2 + d_1 = 132$, максимум $11 \cdot 9 + 9 = 108 < 132$ — нет решений.
- Если $T$ пятизначное: $1111d_4 + 111d_3 + 11d_2 + d_1 = 132$.
- $d_4$ может быть только $0$ (иначе левая часть $\ge 1111$).
- Тогда $111d_3 + 11d_2 + d_1 = 132$ — те же уравнения, что выше, решений нет.
- Аналогично для большего числа цифр: уравнение сводится к $111d_3 + 11d_2 + d_1 = 132$, решений нет.
**Результат (в):** Нет ни одного $T$, удовлетворяющего условию. Следовательно, не существует такого $n$, при котором можно получить сумму $132$.
---
**
а) Нет
б) Нет
в) $0$
Окончательный ответ:
а) Нет