🔍 Решение
Шаг 1
Уравнение вида \( (A)^2 = (B)^2 \) равносильно двум случаям: \( A = B \) или \( A = -B \).
Шаг 2
Рассмотрим случай \( A = B \):
\( 2x + a + 1 - \tan x = 2x + a - 1 + \tan x \).
После сокращения \( 2x + a \) получаем \( 1 - \tan x = -1 + \tan x \), откуда \( 2\tan x = 2 \) и \( \tan x = 1 \).
Шаг 3
На отрезке \( [0; \pi] \) уравнение \( \tan x = 1 \) имеет единственное решение \( x = \frac{\pi}{4} \). Этот корень появляется всегда, независимо от \( a \).
Шаг 4
Рассмотрим случай \( A = -B \):
\( 2x + a + 1 - \tan x = - (2x + a - 1 + \tan x) \).
Упрощаем: \( 2x + a + 1 - \tan x = -2x - a + 1 - \tan x \).
Сокращаем \( 1 - \tan x \): \( 2x + a = -2x - a \), откуда \( 4x + 2a = 0 \) и \( x = -\frac{a}{2} \).
Шаг 5
Чтобы исходное уравнение имело единственное решение (а именно \( x = \frac{\pi}{4} \)), необходимо, чтобы корень \( x = -\frac{a}{2} \) либо не принадлежал отрезку \( [0; \pi] \), либо совпадал с \( \frac{\pi}{4} \) (тогда оба случая дают один и тот же корень).
Шаг 6
Условие \( -\frac{a}{2} \notin [0; \pi] \) означает:
\( -\frac{a}{2} < 0 \) или \( -\frac{a}{2} > \pi \).
Это даёт \( a > 0 \) или \( a < -2\pi \).
Шаг 7
Условие совпадения корней: \( -\frac{a}{2} = \frac{\pi}{4} \), откуда \( a = -\frac{\pi}{2} \).
Окончательный ответ:
$a\in (0,+\infty)\cup(-\infty,-2\pi)\cup\{-\pi/2\}$