Шаг 1
Преобразуем выражение.
Заметим, что $x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$. Тогда подлогарифмическое выражение в первом логарифме: $(x-5)(x^2 - 2x - 15) = (x-5)^2 (x+3)$.
Заметим, что $x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$. Тогда подлогарифмическое выражение в первом логарифме: $(x-5)(x^2 - 2x - 15) = (x-5)^2 (x+3)$.
Шаг 2
Найдём область определения.
Необходимо: $(x-5)^2 > 0$ и $x+3 > 0$.
Необходимо: $(x-5)^2 > 0$ и $x+3 > 0$.
Результат:
$x \neq 5$ и $x > -3$.
Шаг 3
Перепишем логарифмы с основанием 2.
Используем: $\log_4 A = \frac{1}{2} \log_2 A$.
Умножаем всё неравенство на 2:
$\log_2 \left[(x-5)^2 (x+3)\right] + 2 \geq \log_2 (x-5)^2$.
Используем: $\log_4 A = \frac{1}{2} \log_2 A$.
Умножаем всё неравенство на 2:
$\log_2 \left[(x-5)^2 (x+3)\right] + 2 \geq \log_2 (x-5)^2$.
Шаг 4
Упрощаем.
Переносим логарифм справа влево:
$\log_2 (x+3) + 2 \geq 0$.
Переносим логарифм справа влево:
$\log_2 (x+3) + 2 \geq 0$.
Шаг 5
Решаем упрощённое неравенство.
$\log_2 (x+3) \geq -2 \Rightarrow x+3 \geq 2^{-2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x \geq -\frac{11}{4}$.
$\log_2 (x+3) \geq -2 \Rightarrow x+3 \geq 2^{-2} = \frac{1}{4} \Rightarrow x \geq -\frac{11}{4}$.
Шаг 6
Учитываем область определения.
Имеем: $x \geq -\frac{11}{4}$, $x > -3$ и $x \neq 5$.
Имеем: $x \geq -\frac{11}{4}$, $x > -3$ и $x \neq 5$.
Результат:
$x \in \left[-\frac{11}{4}, 5\right) \cup (5, \infty)$.
Окончательный ответ:
\(\left[-\frac{11}{4}, 5\right) \cup (5, \infty)\)