Шаг 1
Четырёхугольник $BCB_1C_1$ вписан в данную окружность, так как все его вершины лежат на ней.
Шаг 2
Для вписанного четырёхугольника $BCB_1C_1$ противоположные углы в сумме дают $180^\circ$:
$\angle C_1BC + \angle B_1C_1C = 180^\circ$ и $\angle B_1CB + \angle C_1B_1B = 180^\circ$.
$\angle C_1BC + \angle B_1C_1C = 180^\circ$ и $\angle B_1CB + \angle C_1B_1B = 180^\circ$.
Шаг 3
Учитывая, что точки $A$, $B_1$, $B$ и $A$, $C_1$, $C$ лежат на одной прямой, имеем:
$\angle B_1C_1C = 180^\circ - \angle AC_1B_1$ и $\angle C_1B_1B = 180^\circ - \angle AB_1C_1$.
$\angle B_1C_1C = 180^\circ - \angle AC_1B_1$ и $\angle C_1B_1B = 180^\circ - \angle AB_1C_1$.
Шаг 4
Подставляем в равенства из шага 2:
$\angle ABC + (180^\circ - \angle AC_1B_1) = 180^\circ \Rightarrow \angle ABC = \angle AC_1B_1$,
$\angle ACB + (180^\circ - \angle AB_1C_1) = 180^\circ \Rightarrow \angle ACB = \angle AB_1C_1$.
$\angle ABC + (180^\circ - \angle AC_1B_1) = 180^\circ \Rightarrow \angle ABC = \angle AC_1B_1$,
$\angle ACB + (180^\circ - \angle AB_1C_1) = 180^\circ \Rightarrow \angle ACB = \angle AB_1C_1$.
Шаг 5
Угол $A$ общий для $\triangle ABC$ и $\triangle AB_1C_1$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.
б) Вычисление $BC$ и радиуса окружности
Результат:
$\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$.
б) Вычисление $BC$ и радиуса окружности
Шаг 1
Из условия $S_{\triangle AB_1C_1} = \frac{1}{7} S_{BCB_1C_1}$. Площадь четырёхугольника $S_{BCB_1C_1} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle AB_1C_1}$. Обозначим $S_1 = S_{\triangle AB_1C_1}$, $S = S_{\triangle ABC}$. Тогда:
$S_1 = \frac{1}{7}(S - S_1) \Rightarrow 7S_1 = S - S_1 \Rightarrow 8S_1 = S \Rightarrow S = 8S_1$.
$S_1 = \frac{1}{7}(S - S_1) \Rightarrow 7S_1 = S - S_1 \Rightarrow 8S_1 = S \Rightarrow S = 8S_1$.
Результат:
площадь $\triangle ABC$ в 8 раз больше площади $\triangle AB_1C_1$.
Шаг 2
Из подобия коэффициент подобия $k = \frac{BC}{B_1C_1}$. Отношение площадей $k^2 = \frac{S}{S_1} = 8$, значит $k = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Тогда:
$BC = k \cdot B_1C_1 = 2\sqrt{2} \cdot 10 = 20\sqrt{2}$.
$BC = k \cdot B_1C_1 = 2\sqrt{2} \cdot 10 = 20\sqrt{2}$.
Результат:
$BC = 20\sqrt{2}$.
Шаг 3
Найдём радиус $R$ данной окружности. Окружность описана вокруг $\triangle BCC_1$ (так как $B$, $C$, $C_1$ лежат на ней). В этом треугольнике:
$\angle BCC_1 = \angle ACB$, $\angle CBC_1 = \angle ABC$. Обозначим $\angle ABC = x$, тогда $\angle ACB = 180^\circ - 135^\circ - x = 45^\circ - x$.
$\angle BCC_1 = \angle ACB$, $\angle CBC_1 = \angle ABC$. Обозначим $\angle ABC = x$, тогда $\angle ACB = 180^\circ - 135^\circ - x = 45^\circ - x$.
Шаг 4
Сумма углов $\triangle BCC_1$:
$\angle BCC_1 + \angle CBC_1 + \angle BC_1C = 180^\circ \Rightarrow (45^\circ - x) + x + \angle BC_1C = 180^\circ \Rightarrow \angle BC_1C = 135^\circ$.
$\angle BCC_1 + \angle CBC_1 + \angle BC_1C = 180^\circ \Rightarrow (45^\circ - x) + x + \angle BC_1C = 180^\circ \Rightarrow \angle BC_1C = 135^\circ$.
Шаг 5
По теореме синусов для $\triangle BCC_1$:
$2R = \frac{BC}{\sin \angle BC_1C} = \frac{20\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = \frac{20\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40 \Rightarrow R = 20$.
$2R = \frac{BC}{\sin \angle BC_1C} = \frac{20\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} = \frac{20\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40 \Rightarrow R = 20$.
Результат:
радиус окружности равен 20.
Окончательный ответ: