Шаг 1
Упростим первое уравнение.
$a - y^2 = a - x^2 \Rightarrow -y^2 = -x^2 \Rightarrow x^2 = y^2$.
$a - y^2 = a - x^2 \Rightarrow -y^2 = -x^2 \Rightarrow x^2 = y^2$.
Результат:
$x^2 = y^2$, то есть $y = x$ или $y = -x$.
Шаг 2
Подставим оба случая во второе уравнение $x^2 + y^2 = 2x + 4y$.
Случай 1: $y = x$.
Тогда $x^2 + x^2 = 2x + 4x \Rightarrow 2x^2 = 6x \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0$.
Решения: $x = 0$, $x = 3$ → точки $(0,0)$ и $(3,3)$.
Случай 2: $y = -x$.
Тогда $x^2 + x^2 = 2x + 4(-x) \Rightarrow 2x^2 = -2x \Rightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) = 0$.
Решения: $x = 0$, $x = -1$ → точки $(0,0)$ и $(-1,1)$.
Случай 1: $y = x$.
Тогда $x^2 + x^2 = 2x + 4x \Rightarrow 2x^2 = 6x \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0$.
Решения: $x = 0$, $x = 3$ → точки $(0,0)$ и $(3,3)$.
Случай 2: $y = -x$.
Тогда $x^2 + x^2 = 2x + 4(-x) \Rightarrow 2x^2 = -2x \Rightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Rightarrow 2x(x + 1) = 0$.
Решения: $x = 0$, $x = -1$ → точки $(0,0)$ и $(-1,1)$.
Результат:
система имеет три возможные точки: $(0,0)$, $(3,3)$, $(-1,1)$. Точка $(0,0)$ общая для обоих случаев.
Шаг 3
Анализ количества решений.
Все три точки различны. Параметр $a$ сократился в первом уравнении, поэтому система не зависит от $a$. При любом $a$ получаем ровно три различных решения.
Условие требует ровно двух различных решений. Это возможно, только если две из трёх точек совпадают, что невозможно. Следовательно, не существует значений параметра $a$, удовлетворяющих условию.
Все три точки различны. Параметр $a$ сократился в первом уравнении, поэтому система не зависит от $a$. При любом $a$ получаем ровно три различных решения.
Условие требует ровно двух различных решений. Это возможно, только если две из трёх точек совпадают, что невозможно. Следовательно, не существует значений параметра $a$, удовлетворяющих условию.
Окончательный ответ:
$\varnothing$