Шаг 1
Анализ уравнения и области определения.
Уравнение: $\ln(4x-1) \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Область определения:
1) $4x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.25$.
2) $x^2 - 6x + 6a - a^2 \ge 0$.
Уравнение равносильно совокупности:
1) $\ln(4x-1) = 0$,
2) $\sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0$ (т.е. $x^2 - 6x + 6a - a^2 = 0$).
Уравнение: $\ln(4x-1) \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
Область определения:
1) $4x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.25$.
2) $x^2 - 6x + 6a - a^2 \ge 0$.
Уравнение равносильно совокупности:
1) $\ln(4x-1) = 0$,
2) $\sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0$ (т.е. $x^2 - 6x + 6a - a^2 = 0$).
Шаг 2
Решение первого уравнения.
$\ln(4x-1) = 0 \Rightarrow 4x-1 = 1 \Rightarrow x = 0.5$.
Этот корень принадлежит отрезку $[0; 3]$ и удовлетворяет $x > 0.25$.
$\ln(4x-1) = 0 \Rightarrow 4x-1 = 1 \Rightarrow x = 0.5$.
Этот корень принадлежит отрезку $[0; 3]$ и удовлетворяет $x > 0.25$.
Шаг 3
Решение второго уравнения.
$x^2 - 6x + 6a - a^2 = 0$.
Дискриминант: $D = 36 - 4(6a - a^2) = 4(a-3)^2$.
Корни: $x = 3 \pm |a-3|$, то есть $x = a$ и $x = 6 - a$.
$x^2 - 6x + 6a - a^2 = 0$.
Дискриминант: $D = 36 - 4(6a - a^2) = 4(a-3)^2$.
Корни: $x = 3 \pm |a-3|$, то есть $x = a$ и $x = 6 - a$.
Шаг 4
Условия для единственного корня на $[0; 3]$.
Потенциальные корни: $x_1 = 0.5$ (из логарифма) и $x = a$, $x = 6-a$ (из корня).
Они должны лежать в области определения и на отрезке $[0; 3]$.
Корень $x_1 = 0.5$ входит в ОДЗ, только если подкоренное выражение при $x=0.5$ неотрицательно:
$0.25 - 3 + 6a - a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 6a + 2.75 \le 0$.
Решаем: $a^2 - 6a + 2.75 = 0 \Rightarrow a = 0.5$ или $a = 5.5$.
Неравенство выполняется при $a \in [0.5; 5.5]$.
Потенциальные корни: $x_1 = 0.5$ (из логарифма) и $x = a$, $x = 6-a$ (из корня).
Они должны лежать в области определения и на отрезке $[0; 3]$.
Корень $x_1 = 0.5$ входит в ОДЗ, только если подкоренное выражение при $x=0.5$ неотрицательно:
$0.25 - 3 + 6a - a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 - 6a + 2.75 \le 0$.
Решаем: $a^2 - 6a + 2.75 = 0 \Rightarrow a = 0.5$ или $a = 5.5$.
Неравенство выполняется при $a \in [0.5; 5.5]$.
Шаг 5
Случай, когда единственный корень — $x_1 = 0.5$.
Для этого $a$ и $6-a$ не должны быть дополнительными корнями на $[0; 3]$ (кроме совпадения с $0.5$).
- При $a = 0.5$: $6-a = 5.5 \notin [0; 3]$, корень только $x=0.5$.
- При $a = 5.5$: $6-a = 0.5$, корень только $x=0.5$.
При других $a \in [0.5; 5.5]$ либо $a$, либо $6-a$ лежит в $[0; 3]$ и даёт второй корень.
Итак, $x_1$ единственный только при $a = 0.5$ и $a = 5.5$.
Для этого $a$ и $6-a$ не должны быть дополнительными корнями на $[0; 3]$ (кроме совпадения с $0.5$).
- При $a = 0.5$: $6-a = 5.5 \notin [0; 3]$, корень только $x=0.5$.
- При $a = 5.5$: $6-a = 0.5$, корень только $x=0.5$.
При других $a \in [0.5; 5.5]$ либо $a$, либо $6-a$ лежит в $[0; 3]$ и даёт второй корень.
Итак, $x_1$ единственный только при $a = 0.5$ и $a = 5.5$.
Шаг 6
Случай, когда единственный корень — один из $a$ или $6-a$, а $x_1$ не корень.
$x_1$ не корень при $a \in (-\infty; 0.5) \cup (5.5; +\infty)$.
Нужно, чтобы ровно один из $a$ или $6-a$ лежал в $[0; 3]$ и $> 0.25$, а второй — нет.
1) Если $a \in (0.25; 0.5)$:
$a \in (0.25; 0.5) \subset [0; 3]$, $6-a > 5.5 \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Подходит.
2) Если $6-a \in (0.25; 3]$:
Тогда $a \in [3; 5.75)$. Чтобы $a$ не давал корень, нужно $a > 3$, т.е. $a \in (3; 5.75)$.
Также $x_1$ не корень при $a > 5.5$. Пересечение: $a \in (5.5; 5.75)$.
При таких $a$: $6-a \in (0.25; 0.5) \subset [0; 3]$, $a \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Подходит.
$x_1$ не корень при $a \in (-\infty; 0.5) \cup (5.5; +\infty)$.
Нужно, чтобы ровно один из $a$ или $6-a$ лежал в $[0; 3]$ и $> 0.25$, а второй — нет.
1) Если $a \in (0.25; 0.5)$:
$a \in (0.25; 0.5) \subset [0; 3]$, $6-a > 5.5 \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Подходит.
2) Если $6-a \in (0.25; 3]$:
Тогда $a \in [3; 5.75)$. Чтобы $a$ не давал корень, нужно $a > 3$, т.е. $a \in (3; 5.75)$.
Также $x_1$ не корень при $a > 5.5$. Пересечение: $a \in (5.5; 5.75)$.
При таких $a$: $6-a \in (0.25; 0.5) \subset [0; 3]$, $a \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Подходит.
Шаг 7
Проверка границ.
При $a = 0.25$: $a=0.25$ не в ОДЗ ($x>0.25$), $6-a=5.75 \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Корней нет.
При $a = 5.75$: $6-a=0.25$ не в ОДЗ, $a=5.75 \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Корней нет.
При $a=3$: корни $x=0.5$ и $x=3$ — два корня. Не подходит.
При $a = 0.25$: $a=0.25$ не в ОДЗ ($x>0.25$), $6-a=5.75 \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Корней нет.
При $a = 5.75$: $6-a=0.25$ не в ОДЗ, $a=5.75 \notin [0; 3]$, $x_1$ не корень. Корней нет.
При $a=3$: корни $x=0.5$ и $x=3$ — два корня. Не подходит.
Шаг 8
Объединение.
Из случая $x_1$ единственный: $a = 0.5$, $a = 5.5$.
Из случая один корень квадратный: $a \in (0.25; 0.5)$ и $a \in (5.5; 5.75)$.
Объединяем: $(0.25; 0.5] \cup [5.5; 5.75)$.
Из случая $x_1$ единственный: $a = 0.5$, $a = 5.5$.
Из случая один корень квадратный: $a \in (0.25; 0.5)$ и $a \in (5.5; 5.75)$.
Объединяем: $(0.25; 0.5] \cup [5.5; 5.75)$.
Окончательный ответ:
$(0.25, 0.5] \cup [5.5, 5.75)$