🔍 Решение
Шаг 1
Обозначения.**
В школе 1: $n$ учеников, сумма $S_1 = 18n$.
В школе 2: $m$ учеников, сумма $S_2$, $A_2 = \frac{S_2}{m}$ целое, $m \ge 2$, $n \ge 2$.
Ученик, переходящий из школы 1, набрал $x$ баллов (натуральное).
После перехода:
Школа 1: $n-1$ учеников, сумма $S_1 - x$, среднее $\frac{S_1 - x}{n-1} = 19.8$.
Школа 2: $m+1$ учеников, сумма $S_2 + x$, среднее $\frac{S_2 + x}{m+1} = 1.1 \cdot \frac{S_2}{m}$.
**
Шаг 2
Уравнение для школы 1.**
$\frac{18n - x}{n-1} = 19.8$
$18n - x = 19.8n - 19.8$
$x = 19.8 - 1.8n = 1.8(11 - n)$
Так как $x$ натуральное, $1.8(11-n)$ натуральное $\Rightarrow 11-n$ кратно $5$ (ибо $1.8 = \frac{9}{5}$).
Пусть $11-n = 5t$, $t$ целое. Тогда $x = 9t$, $n = 11 - 5t$.
**
Шаг 3
Уравнение для школы 2.**
$\frac{S_2 + x}{m+1} = 1.1 \cdot \frac{S_2}{m}$
$m(S_2 + x) = 1.1 S_2 (m+1)$
$m x = 0.1 m S_2 + 1.1 S_2 = S_2(0.1 m + 1.1)$
$S_2 = \frac{m x}{0.1 m + 1.1} = \frac{10 m x}{m+11}$.
Так как $A_2 = \frac{S_2}{m} = \frac{10 x}{m+11}$ целое, то $m+11$ делит $10x$.
**
Шаг 4
Условия на $t$ и $n$.**
$n = 11 - 5t \ge 2 \Rightarrow t \le 1.8$, $x = 9t \ge 1 \Rightarrow t \ge 1$.
Единственное целое $t$: $t=1$. Тогда $n = 6$, $x = 9$.
**
Шаг 5
Проверка школы 2.**
При $t=1$: $x=9$, $A_2 = \frac{90}{m+11}$ целое.
Значит $m+11$ — делитель $90$. Делители $90$: $1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90$.
$m \ge 2 \Rightarrow m+11 \ge 13$. Подходящие: $15,18,30,45,90$.
Соответственно $m = 4,7,19,34,79$.
**а) Сколько учащихся могло писать тест в школе № 1 изначально?**
$n=6$ — единственный вариант.
**б) Наибольший балл в школе 1 при разных баллах.**
Имеем $6$ учеников с разными натуральными баллами, сумма $108$, один из них имеет балл $x=9$.
Максимизируем наибольший балл $M$. Остальные $4$ (кроме $M$ и $9$) — разные натуральные, не равные $9$ и $M$. Их минимальная сумма: $1+2+3+4=10$.
Тогда $M + 9 + 10 = 108 \Rightarrow M = 89$.
Проверим $M=90$: сумма остальных $5$ чисел (включая $9$) равна $18$, нужно $5$ разных натуральных, одно из них $9$, тогда сумма остальных $4$ равна $9$, но минимальная сумма $4$ разных натуральных $1+2+3+4=10 > 9$, невозможно.
Значит $M=89$ — максимум.
**в) Наименьшее $m > 10$.**
Из подходящих $m = 4,7,19,34,79$ условию $m > 10$ удовлетворяют $19,34,79$. Наименьшее: $19$.
**
а) $6$
б) $89$
в) $19$
Результат:
$6$.
Окончательный ответ:
а) $6$; б) $89$; в) $19$