Шаг 1
Докажем, что $AH = AO$.
Известно, что расстояние от ортоцентра до вершины равно $AH = 2R|\cos A|$.
Для угла $A = 120^\circ$ имеем $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, поэтому $AH = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Так как $AO = R$ (радиус описанной окружности), то $AH = AO$.
Известно, что расстояние от ортоцентра до вершины равно $AH = 2R|\cos A|$.
Для угла $A = 120^\circ$ имеем $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, поэтому $AH = 2R \cdot \frac{1}{2} = R$.
Так как $AO = R$ (радиус описанной окружности), то $AH = AO$.
Шаг 2
Найдем радиус $R$.
По теореме синусов: $BC = 2R \sin A$.
Дано $BC = \sqrt{15}$, $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем: $\sqrt{15} = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sqrt{15} = R\sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}$.
По теореме синусов: $BC = 2R \sin A$.
Дано $BC = \sqrt{15}$, $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем: $\sqrt{15} = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sqrt{15} = R\sqrt{3} \Rightarrow R = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}$.
Шаг 3
Найдем угол $\angle OAH$.
Известно, что $\angle OAH = |\angle B - \angle C|$.
Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
Подставляем: $120^\circ + 45^\circ + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 15^\circ$.
Тогда $\angle OAH = |45^\circ - 15^\circ| = 30^\circ$.
Известно, что $\angle OAH = |\angle B - \angle C|$.
Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
Подставляем: $120^\circ + 45^\circ + \angle C = 180^\circ \Rightarrow \angle C = 15^\circ$.
Тогда $\angle OAH = |45^\circ - 15^\circ| = 30^\circ$.
Шаг 4
Вычислим площадь треугольника $AHO$.
Используем формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AO \cdot \sin(\angle OAH)$.
Так как $AH = AO = R = \sqrt{5}$, а $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.
Используем формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot AO \cdot \sin(\angle OAH)$.
Так как $AH = AO = R = \sqrt{5}$, а $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:
$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.
Окончательный ответ:
\(\frac{5}{4}\)