Шаг 1
Введем систему координат.
Результат:
Поместим точку D в начало координат: D(0,0,0). Пусть A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c), так как рёбра DA, DB, DC попарно перпендикулярны.
Шаг 2
Найдем длины сторон основания ABC.
Результат:
AB = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, BC = $\sqrt{b^{2}+c^{2}}$, AC = $\sqrt{a^{2}+c^{2}}$.
Шаг 3
Используем условие AB = BC = AC = $5\sqrt{2}$.
Результат:
Получаем систему: $a^{2}+b^{2}=50$, $b^{2}+c^{2}=50$, $a^{2}+c^{2}=50$. Складывая и деля пополам, находим $a^{2}=b^{2}=c^{2}=25$.
Шаг 4
Выбираем положительные значения.
Результат:
A(5,0,0), B(0,5,0), C(0,0,5). Все боковые рёбра равны 5 и перпендикулярны, значит пирамида правильная (доказано).
Шаг 5
Находим координаты точек M и N.
Результат:
По условию DM:MA = 2:3, поэтому M($\frac{2}{5}$A) = (2,0,0). Аналогично, DN:NC = 2:3, поэтому N = (0,0,2).
Шаг 6
Вычисляем площадь треугольника MNB.
Результат:
Векторы: $\vec{MN}=(-2,0,2)$, $\vec{MB}=(-2,5,0)$. Их векторное произведение: $\vec{MN} \times \vec{MB} = (-10, -4, -10)$. Его модуль: $\sqrt{(-10)^{2}+(-4)^{2}+(-10)^{2}} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$.
Окончательный ответ:
$3\sqrt{6}$